- •1.Числовой ряд, его сходимость.
- •3.Остаток ряда.
- •5.Теорема (необходимые признаки сход-ти).
- •6. Линейные операции с рядами.
- •7.Признак сравнения в форме нер-ва.
- •13.Теорема об абсолютной сходимости.
- •16.Теорема Дирихле о перестановочности абсолютно сх-ся ряда.
- •17. Функциональные ряды. Равномерная сходимость.
- •Определение Множество всех х при которых функциональный ряд (1) сх-ся (т.Е. Получаются сх-ся числовые ряды) - область сходимости функционального ряда.
- •19. Признак Вейерштрасса о равномерной сх-ти.
- •20. Свойства равномерно сходящихся рядов.
- •21. Теорема об интегрировании ряда.
- •22. Теорема о дифференцируемости ряда.
- •23. Радиус сход-ти, интервал сход-ти, область сход-ти.
- •24. Свойства степенных рядов. Теорема о равномерной сход степенного ряда.
- •25. Теорема Абеля
- •26. Формула Тейлора.
- •32. Ряд Фурье для тригонометрических функций.
- •33. Разложение функций в тригонометрические ряды на произвольном промежутке.
- •34. Разложение четных функций в тригонометрический ряд.
- •35. Разложение нечетных функций в тригонометрический ряд.
- •36. Разложение функций в ряд по синусам в несимметричном промежутке (0, l).
26. Формула Тейлора.
Пусть функция f(x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка включительно в некоторой окрестности точки х=а, тогда имеет место формула Тейлора:
. Rn(x) - остаточный член, который может быть представлен в виде: (2) - форма Лагранжа, где -расположена между точками х и а. Другой вид:
27. Ряды Тейлора и Маклорена.
; f(x)=Sn(x)+Rn(x) (6); f(x)-Sn(x)=Rn(x) (6). Потребуем, чтобы функция f(x) имела бесконечное число производных f(n)(x) в точке x=а и её окрестности. Получим:
lim (f(x)-Sn(x))=lim Rn(x)=0 (7) . Если lim Rn(x) сущ-ет и равен 0, то f(x)=lim Sn(x) (8) (9) - ряд Тейлора. При а=0 получаем ряд Маклорена:
.
Замечание Функция представлена в форме ряда Тейлора в том случае если Rn(x)0.
28. Теорема о представлении степенных рядов рядом Тейлора.
Если функция f(x) представима степенным рядом f(x)=an(x-a)n,
то этот степенной ряд явл-ся рядом Тейлора : f(x)= (x-a)n, т.е. an= (11). И такое разложение единственно и коэффициенты нах-ся по формуле (11).
29. Теорема (достаточный признак сход-ти степенного ряда к функции f или представлении в виде ряда Тейлора).
Пусть f(n)(x)C=const n=0,1,2... в некоторой замкнутой окрестности точки аХ, тогда функция f представима степенным рядом Тейлора.
31. Ряды Фурье.
Далее мы будем рассматривать глобальное разложение, то есть на конечном отрезке [a,b].
Определение. Понятие ортогонольных и нормированных систем ф-ий:
(х), (х) интегрируемые при х[a,b], тогда (*) - cкалярное произведение.
для (*) вып-ся аксиомы скалярного произведения:
А1 (,)=(,)
А2 (,)=(,)=(,), =const
А3 (,1+2)=(,1)+(,2)
Определение: Функции и на [a,b] ортогональны если (,)=0, т.е. (х)(х)dx=0.
Определение. Понятие нормированности: =- норма (длина вектора).
Докажем, что норма обладает всеми св-вами длины:
=[2(x)dx]0.5
A.1 0, =0 0
A.2 =, R1
A.3 1+2=1+2
Определения: Если для системы функций 1,2,...,n введено понятие нормы, то такая система наз-ся нормированной. Если норма каждого элемента пространства равна 1, то наз-ся нормированной на 1. Если система функций попарно ортогональна и нормированная на 1, то такая система наз-ся ортонормированной: ОН - ортонормированная система, если
; ОН
Ряд Фурье. Коэфициенты Фурье по ОН системе.
{1(x),2(x),...,n(x)} - ОН система, т.е. . f(x)=fnn(x) - ряд Фурье, где fn - коэфициенты. Умножим обе части этого уравнения на m(x) и проинтегр:
f(x)m(x)dx==m(x) fnn(x)dx=fnm(x)n(x)dx=0 - когда mn. Когда m=n:
=fn(n,n)=fn=f(x)n(x)dx f(x) (f,n)n(x)
32. Ряд Фурье для тригонометрических функций.
, f(x) (ancos(nx)+bnsin(nx)) (4)
где an=f(x)cos(nx)dx, bn=f(x)sin(nx)dx, n=0,1,2,...
Определение: Функция называется кусочно-непрерывной на данном отрезке, если этот отрезок можно разбить на конечное число интегралов, в каждом из которых функция непрерывна.
Теорема Дирихле: Пусть f(x)
1)определена для всех х[-,]
2)кусочно-непрерывная на [-,]
3)кусочно-монотонная на [-,]
4)ограничена на [-,], тогда она разложима в тригонометрический ряд Фурье (4). Если точка х[-,] и в этой точки f(x) непрерывна, то сумма ряда
S(x)=(ancos(nx)+bnsin(nx))=f(x). Если точка х - точка разрыва, скачок, то S(x)=1/2 [f(x-0)+f(x+0)]
S(-)=S()=1/2 [f(+0)+f(-0)]
Замечания:
1)поведение функции f за пределами [-,] может в корне отлич от значения S.
2)если мы хотим разложить f на всей действительной оси, то согласно (4) мы должны продолжить периодическим образом с периодом 2.