20. Свойства равномерно сходящихся рядов.

Известно, что конечная сумма непрерывных функций, есть непрерывная функция. Такую сумму можно почленно интегрировать, конечную сумму дифференцировать.

Для суммы функ. ряда это не так, например члены ряда x+(x²-x)+…+(xⁿ-x^n-1)+… непрер-ны на Е=[0,1], а сумма ряда S(x)={0, x[0,1[ и 1,x=1 разрывна в т. х=1.

Теорема о непрерывности суммы ряда.

Если все члены u_n(x) функ. ряда u₁(x)+u₂(x)+…+u_n(x)+…(1) непрерывны на Е и ряд сх-ся равномерно на Е, то S(x) непрер-на на Е.

21. Теорема об интегрировании ряда.

Если все члены u_n(x) функ. ряда (1) непрерывны на [a,b] и ряд сх-ся на [a,b] равномерно, то его можно почленно интегрировать по любому отрезку [x₁,x₂][a,b]. S(x)dx=u_n(x)dx= u_n(x)dx (ряд полученный почленным инт-ем ряда (1) сх-ся и его сумма = интегралу от суммы ряда (1) или интеграл от суммы ряда = сумме ряда).

22. Теорема о дифференцируемости ряда.

Если все члены u_n(x) функционального ряда (1) сходящиеся на [a,b] (необязательно равном.) непрер. дифференцируемы на [a,b] (u_n(x)c[a,b]), а ряд из производных: u₁(x)+u₂(x)+…+u_n(x)+…(5) равномерно сх-ся на [a,b], то ряд (1) можно почленно дифф-ть в любой точке х[a,b]: S(x)=( u_n(x))= u_n(x) (производная суммы ряда равна сумме производных).

Теорема об ограниченном множителе.

Если все члены ряда (1) равномерно сходящиеся на множестве Е умножить на функцию ограниченную на Е, то равном. сх-ть ряда (1) на Е сохранится.

23. Радиус сход-ти, интервал сход-ти, область сход-ти.

C₀+C₁(x-a)+C₂(x-a)²+...+C_n(x-a)ⁿ+...==C_n(x-a)ⁿ (1), где С_n и а - действительные числа, наз-ся степенным рядом с центром х=а. Заменой =х-а такой ряд приводится к виду (вместо  пишем х):

С₀+С₁х+С₂х²+...+С_nхⁿ+...=С_nхⁿ (2) поэтому можно ограничится изучением ряда (2). Ряд (2) всегда сходится к точке х=0: S(0)=C.

24. Свойства степенных рядов. Теорема о равномерной сход степенного ряда.

a_nxⁿ = a₀+a₁x+a₂x²+...+a_nxⁿ+... (1). Степенной ряд (1) сходится равномерно в каждом замкнутом промежутке, расположенным внутри области сход-ти степеного ряда (1).

25. Теорема Абеля

Если степенной ряд (2) сходится в точке х₀0, то он абсолютно сходится при х<х₀, т.е. на [-x₀,x₀], если он расходится в точке х₀ 0, то расходится при х<x₀, т.е. на [-,-x₀] и [x₀,+].

Теорема о радиусе сходимости

Для каждого степенного ряда (2) существует неотрицательное число R такое, что на ]-R,R[ ряд абсолютно сходится, а вне отрезка [-R,R] (т.е. на [-,-R] u [R,+]) расходится.

Число R - радиус сход-ти степенного ряда (2), [-R,R] -интервал сходимости.

Замечание1.

Для степенного ряда (1) интервалом сход-ти является [a-R,a+R].

Замечание2.

На концах интервала х=R ряд (2) может сходится (абсолютно или не абсолютно) и расходится, поэтому область сход-ти степенного ряда с точностью до граничных точек совпадает с интервалом сходимости  чтобы найти область сход-ти степенного ряда достаточно найти интервал сход-ти, а сход-ть в граничных точках х=R исследовать непосредственной подстановкой этих точек в ряд (2). Что же касается интервала сход-ти ряда (2), то он совпадает с интервалом сход-ти ряда из модулейC_nxⁿ, т.к. внутри интервала сходимости ряд (2) сходится абсолютно, т.е. сходится ряд C_nxⁿ, а вне интервала сход-ти ряд (2) расходится и тем более расходится ряд из модулей. Таким образом дело сводится к нахождению интервала сход-ти положительного ряда из модулей, а к этому положительному ряду можно применять признаки сход-ти положительных рядов.