- •1.Числовой ряд, его сходимость.
- •3.Остаток ряда.
- •5.Теорема (необходимые признаки сход-ти).
- •6. Линейные операции с рядами.
- •7.Признак сравнения в форме нер-ва.
- •13.Теорема об абсолютной сходимости.
- •16.Теорема Дирихле о перестановочности абсолютно сх-ся ряда.
- •17. Функциональные ряды. Равномерная сходимость.
- •Определение Множество всех х при которых функциональный ряд (1) сх-ся (т.Е. Получаются сх-ся числовые ряды) - область сходимости функционального ряда.
- •19. Признак Вейерштрасса о равномерной сх-ти.
- •20. Свойства равномерно сходящихся рядов.
- •21. Теорема об интегрировании ряда.
- •22. Теорема о дифференцируемости ряда.
- •23. Радиус сход-ти, интервал сход-ти, область сход-ти.
- •24. Свойства степенных рядов. Теорема о равномерной сход степенного ряда.
- •25. Теорема Абеля
- •26. Формула Тейлора.
- •32. Ряд Фурье для тригонометрических функций.
- •33. Разложение функций в тригонометрические ряды на произвольном промежутке.
- •34. Разложение четных функций в тригонометрический ряд.
- •35. Разложение нечетных функций в тригонометрический ряд.
- •36. Разложение функций в ряд по синусам в несимметричном промежутке (0, l).
13.Теорема об абсолютной сходимости.
Если сходится |an|, то сходится и сам an.
Определение: Если ряд |an| сх-ся, то говорят, что ряд абсолютно сх-ся. Если сам ряд an сх-ся, а ряд |an| расходится, то говорят, что an сх-ся неабсолютно (условно).
Определение: Ряд у которого полож. члены чередуются через один - знакочередующийся. Для знакочередующегося ряда свой достаточный признак сходимости.
14. Признак Лейбница
Если у знакочередующегося ряда n-й член стремится к 0 монотонно убывая, то ряд сходится, сумма ряда имеет знак 1го члена ряда и не превосх. его по модулю.
15. Свойства сходящихся рядов.
Обычные св-ва конечных сумм – сочетательность, переместительность не перенос. автоматически на суммы рядов, т.к. при вычислении суммы ряда добавляется новая операция переход к пределу.
Теорема о сочетательности сх-ся ряда.
Сходимость и сумма сходящегося ряда сохраняется, если произвольным образом объединить члены ряда в группы, сохраняя порядок членов: (а1+а2+…+аn)+(an+1+an+2+an+3)… ( bk сх-ся к той же сумме, что иan). Соч-ть в обратном порядке вообще говоря не имеет места. Напр.: (1-1)+(1-1)+…=0+0+… сх-ся: S=0, а после опускания скобок расх-ся (S1=1,S2=0,S3=1,S4=0; {Sn} не имеет предела).
16.Теорема Дирихле о перестановочности абсолютно сх-ся ряда.
У абсолютно сх-ся ряда сходимость и сумма сохр при любой перестановке членов.
17. Функциональные ряды. Равномерная сходимость.
Функциональный ряд u1(x)+u2(x)+…+un(x)+…= un(x) (1), где un(x) – ф-ии с некоторой общей областью определения Х, при каждом конкретном хХ предст. собой числовой ряд, который может сходиться или расх-ся.
Определение Множество всех х при которых функциональный ряд (1) сх-ся (т.Е. Получаются сх-ся числовые ряды) - область сходимости функционального ряда.
18.Определение: Если по любому заданному >0 можно указать n, такое что при всех n> n сразу для всех хЕ выполняется неравенство |Sn(x)-S(x)|<: (>0)( n):(n> n)(хЕ)[|Sn(x)-S(x)|= |rn(x)|<].
Геометрически: в случае сх-ти при n> n все графики у=Sn(x) целиком попадут в заданную полосу между графиками. В случае наравномерной сх-ти какой бы n ни взять при n> n не удаётся заключить весь график у=Sn (x) в заданную полосу: всегда найдётся точка х Е т.ч. точка с координатами (х, Sn (x)) остаётся вне полосы.
Теорема об остатке равномерно сх-ся ряда.
Функ. ряд (1) сходящийся на множестве Е (т.е. сх-ся поточно) равномерно сх-ся на Е lim |rn(x)| =0.
Теорема Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда.
Функ. ряд (1) сх-ся на множнстве Е равномерно для >0 существует n такое, что при m>n>n и xE [uk(x)|<]
Из критерия Коши получается след. достаточный признак равномерной сх-ти.
19. Признак Вейерштрасса о равномерной сх-ти.
Если существует положительный, числовой, сх-ся ряд an (4), такой что (n)(хЕ) [|uk(x)|an] (мажорирующий ряд, мажоранта), то ряд (1) сх-ся на множестве Е абсолютно и равномерно.
Определение. Функциональный ряд для которого сущ. мажоранта, наз-ся мажорирующим. Ряд, мажорируемый на Е сх-ся абсолютно и равномерно на мн-ве Е.