7º. Основная теорема алгебры и следствия из нее.

Теорема 8 (основная теорема алгебры (ОТА)). Всякий многочлен , имеет хотя бы один комплексный корень.

Доказательство. Первые попытки доказательства этой теоремы в XVII в. – Роте, Жирар, Декарт, в XVIII в. – Д’Аламбер, Эйлер, Лаплас, Лагранж. Первое строгое доказательство в 1799 г. – К.Гаусс. Доказательство см., например, Курош [8].

Следствие 1. числа справедливо разложение

(4)

где − старший коэффициент, − корни многочлена .

Доказательство. Пусть По теореме 8 корень многочлена ; тогда по теореме Безу справедливо представление где имеет степень и по ОТА имеет корень .

В итоге получаем (4), где появление коэффициента обуславливается тем, что если вместо записать , то после раскрытия скобок получим .■

Следствие 2. Разложение (4) для многочлена является единственным с точностью до порядка сомножителей.

Доказательство. Пусть имеется и другое разложение:

.

Тогда имеем равенство:

…=… .

Если бы корень был отличен от всех корней , то после подстановки слева получаем 0, а справа – нет корню соответствует некий корень и наоборот.

Отсюда еще не следует совпадение всех корней двух разложений. Может случиться, что среди корней , есть одинаковые. Пусть − корень кратности , а соответствующий корень − корень кратности . Нужно показать, что .

Пусть. Т.к. − кольцо без делителей нуля, то можно сократить на приходим к равенству, где слева есть множитель , а справа – нет. Как показано выше, это приводит к противоречию■.

Объединяя одинаковые множители, разложение (4) перепишем в виде:

где − попарно различные корни.

Докажем, что число , , является кратностью корня . Действительно, если эта кратность , то . Пусть вместе с тем . Тогда в силу определения кратности . Заменяя здесь его разложением на линейные множители, получим разложение, отличное от (4) противоречие с единственностью разложения

Следствие 3. Каждый многочлен имеет корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

Следствие 4. Число различных корней непостоянного многочлена не превосходит его степени.

Следствие 5. Если два многочлена принимают одинаковые значения при различных аргументах, то .

Доказательство. Пусть Рассмотрим многочлен . Имеем: имеет различных корней ||в силу следствия 4|| ■

Следствие 6. Для любых попарно различных и любых существует единственный многочлен

Доказательство. Если указанный многочлен существует, то, в силу следствия 5, он единственный. Такой многочлен имеет вид:

, (5)

где

Из формулы видно, что и так как

, то ■

Определение 8. Построенный многочлен называется интерполяционным многочленом Лагранжа, а (5) – интерполяционной формулой Лагранжа.

Следствие 7 (формулы Виета). Пусть и − корни , причем каждый корень выписан столько раз, какова его кратность

При ,

,, ,

8º. Многочлены с действительными коэффициентами.

Пусть но . Такой многочлен называется многочленом с действительными коэффициентами.

Лемма 2. Если − корень многочлена с действительными коэффициентами, то − также корень .

Доказательство. Так как − корень многочлена взяв комплексное сопряжение ■

Из леммы 2 если то из Если то − многочлен с действительными коэффициентами, т.к.

Лемма 3. Если − корень кратности многочлена с действительными коэффициентами, то − тоже −кратный корень .

Доказательство. Пусть − −кратный корень и пусть . Тогда , где Отсюда имеем где

Многочлен - многочлен с действительными коэффициентами как частное двух многочленов с действительными коэффициентами и определяется однозначно. Т.о, что противоречит лемме 2 не может быть больше . Аналогично, не может быть меньше ■

Лемма 4. многочлен с действительными коэффициентами нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

Определение 9. Многочлен , называется неприводимым (над полем ), если его нельзя представить в виде произведения многочленов из , степени которых меньше .

Очевидно, что т.е. а также вида являются неприводимыми.

Теорема 9. Для всякого имеет место разложение на неприводимые множители вида

(6)

где , Это разложение единственно с точностью до перестановки сомножителей.

Доказательство. Пусть Рассмотрим многочлен над с теми же коэффициентами. Согласно леммам 2 и 3 его корни можно расположить в последовательности: где Согласно следствию 1 к ОТА, имеем:

.

Полагая имеем для получим (6).

Для доказательства единственности заметим, что правая часть (6) равна для . Но набор неприводимых множителей определяется корнями разложение единственно. ■

Следствие. Всякий неприводимый многочлен над имеет вид : , , , или .

34