Доказательство.
Следует из теоремы 4.
Из (3) общий делитель и должен делить 1 он является постоянной − взаимно просты. ■
Свойства (взаимно–простых многочленов).
1) − взаимно прост c и − взаимно прост с . .
Доказательство.
НОД, НОД умножая последнее равенство на .
Если и − не взаимно просты делитель, который является делителем для − не взаимно просты. Это противоречие доказывает утверждение. ■
2) Если и НОД .
Доказательство.
НОД |умножим на |
. Так как и . ■
3) Если НОД .
Доказательство. Так как , то умножая на , получаем .■
6º. Корни многочленов.
Определение 6. Число называется корнем, если .
Теорема 6 (теорема Безу). Пусть . Тогда .
Доказательство. Разделим на : , где const. Тогда
. ■
Замечание. Остаток от деления на равен .
Следствие. Число корней нулевого многочлена не превосходит его степени.
Доказательство по индукции по степени многочлена. Если , то const корней нет утверждение доказано.
Пусть утверждение доказано для и пусть . Если у нет корней утверждение доказано.
Если − корень и . По предположению индукции число корней не больше . Корни − это корни и наоборот (число корней )=(число корней )+1.■
Замечание. Т.о., задача нахождения корней многочлена равносильна нахождению его нормальных делителей (т.е. делителей степени 1).
Многочлен можно разделить на с остатком используя так называемую схему Горнера. Пусть имеет вид:
,
и пусть , где .
Приравнивая левую и правую часть, получаем:
,
откуда при одинаковых степенях имеем:
Отсюда
Для практического использования схему Горнера строят следующим образом:
|
|||||
Напомним, что .
Пример. Пусть . Найти . Воспользуемся схемой Горнера, которая в данном случае имеет вид:
|
1 |
0 |
-4 |
6 |
-8 |
10 |
2 |
1 |
|
-4+4=0 |
|
-8+12=4 |
|
Пусть – корень многочлена т.е. и значит, по теореме Безу, Может оказаться, что , то
Определение 7. Наибольшее называется кратностью корня многочлена . Такой корень называется -кратным корнем Если , то корень называется простым.
Замечание 1. Если – корень кратности для многочлена , то и т.е. . Наоборот, если и то – корень кратности многочлена Для доказательства этого предположим, что |т.к. в кольце нет делителей нуля | противоречие.
Замечание2. является корнем нулевого многочлена.
Теорема 7. Если является -кратным корнем многочлена, то при >1 число будет (-1)-кратным корнем производной Если =1, то не является корнем
Доказательство. Пусть − -кратный корень многочлена Тогда , где , т.е. Дифференцируя это представление по , имеем: , т.е.. Т.к. не делит Т.к. частное от деления определяется однозначно, то является наибольшей степенью , которая делит ■
Следствие. Если – -кратный корень , то –-кратный корень для