6°. Исследование общего уравнения второго порядка.
Пусть на плоскости
задана прямоугольная определяемая
репером
.
Рассмотрим уравнение
,
(22)
в котором коэффициенты
и
не равны нулю одновременно. Исследуем
множество точек плоскости, координаты
которых удовлетворяют (22), не предполагая
заранее, что хоть одна такая точка
существует. С этой целью мы будем менять
систему координат так, чтобы уравнение
стало возможно проще. При повороте
базиса декартовой прямоугольной системы
координат на угол
старые координаты точки
будут связаны с её новыми координатами
формулами
,
.
В новых координатах уравнение (22) имеет вид
Здесь многоточием
обозначены члены первой степени
относительно
и свободный член, которые нет необходимости
выписывать. Нас будет интересовать член
с произведением
в преобразованном уравнении. Коэффициент
при
равен
.
Если
,
то поворачивать систему координат не
будем. Если же
,
то выберем угол
так, чтобы
обратилось в нуль.
Это требование приведёт к уравнению
.
(23)
Если
,
то
,
и можно положить
.
Если же
,
то выбираем
.
После поворота системы координат на
этот угол
линия будет иметь уравнение
.
(24)
Выражения для коэффициентов уравнения (24) через коэффициенты (22) легко вычисляется.
Утверждение 1. Если в уравнение (24) входит с ненулевым коэффициентом квадрат одной из координат, то при помощи переноса начала координат вдоль соответствующей оси можно обратить в нуль член с первой степенью этой координаты.
В самом деле,
пусть, например,
.
Перепишем (3) в виде
.
Если сделать
перенос начала координат, определяемый
формулами
,
,
то уравнение приведётся к виду
,
как и требовалось.
А.
Далее перечислим возможные случаи
уравнения (24).
,
т.е. оба коэффициента отличны от нуля,
то согласно предложению 1 при помощи
переноса начала координат уравнение
приведётся к виду
.
Возможные следующие подслучаи.
А1.
(коэффициенты
и
имеют один знак). Для
имеются следующие три возможности:
А1а.
Знак
противоположен знаку
и
.
Тогда перенесём
в другую часть равенства и разделим на
него. Уравнение примет вид
,
,
.
т.е. в этом случае линия является эллипсом.
А1б.
Знак
совпадает с общим знаком
и
.
Тогда аналогично предыдущему мы можем
привести уравнение к виду
.
Этому уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки. Такое уравнение называется уравнением мнимого эллипса.
А1в.
.
Уравнение имеет вид
.
Ему удовлетворяет
только одна точка
,
.
Уравнение называется уравнением
пары мнимых пересекающихся прямых.
А2.
– коэффициенты
и
имеют разные знаки. Относительно
имеются следующие две возможности.
А2а.
.
В этом случае уравнение приводится к
виду
,
полученная линия – гипербола.
А2б.
.
Уравнение имеет вид
.
Его левая часть
разлагается на множители
и
и, следовательно, обращается в нуль
тогда и только тогда, когда равен нулю
хоть один из множителей. Поэтому эта
линия состоит из двух прямых, которые
пересекаются
в начале координат.
Б.
Если
,
то, один из коэффициентов
и
равен нулю. Пусть
и
,
(иначе порядок уравнения был бы равен
1, а не 2). Используя утверждение 1, риведём
уравнение к виду
.
Б1.
Пусть
.
Сгруппируем члены следующим образом:
.
Перенесём начало
координат вдоль оси абсцисс в соответствии
с формулами перехода
,
.
Тогда уравнение примет вид
,
или
,
где
.
Таким образом получили параболу.
Б2.
Допустим, что
.
Тогда уравнение имеет вид
.
Относительно
есть следующие три возможности:
Б2а.
,
т.е. знаки
и
противоположны. Разделив на
,
приведём уравнение к виду
.
Левая часть
уравнения разлагается на множители
и
.
Обращение в нуль каждого из них определяет
прямую линию. Эти прямые параллельны,
и, таким образом, уравнение определяет
пару
параллельных прямых.
Б2б.
,
т.е. знаки
и
совпадают. Разделив на
,
приведём уравнение к виду
.
Этому уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки. Уравнение, приводящееся к такому каноническому виду, называют уравнением пары мнимых параллельных прямых.
Б2в.
.
После деления на
уравнение принимает вид
.
Это уравнение
эквивалентно уравнению
,
и потому определяет прямую линию.
Уравнение, приводящееся к этому виду,
называется уравнением пары
совпавших прямых.
Соберём вместе полученные результаты.
Теорема 3. Пусть в декартовой системе координат задано уравнение второго порядка (24).
Тогда существует такая декартова прямоугольная система координат, в которой это уравнение принимает один из следующих девяти канонических видов:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
;
9)
.
В соответствии с этим существуют семь классов линий второго порядка: 1) эллипсы; 2) точки (пары мнимых пересекающихся прямых); 3) гиперболы; 4) пары пересекающихся прямых; 5) параболы; 6) пары параллельных прямых; 7) прямые (пары совпавши прямых).
Уравнению 2) мнимого эллипса и уравнению 8) пары мнимых параллельных прямых не удовлетворяет ни одна точка.
Пример 1.
Решение.
Так как
,
то
и формулы (4.31) имеют вид
.
Тогда
,
т.е.
– равносторонняя гипербола. Её асимптотами
являются оси
,
.
Пример 2.
.
Решение. Имеем
;
;
;
.
Выберем
.
Тогда
,
,
т.е. формулы преобразования координат
имеют вид
,
.
Подставив формулы преобразования координат в исходное уравнение, получим
.
Рис. 10.
Выделим полные
квадраты:
.
Осуществив параллельный сдвиг координатных
осей
Получим каноническое
уравнение эллипса в декартово прямоугольной
системе координат, определяемой репером
(рис. 10):
.