4°. Директрисы эллипса и гиперболы.
Рассмотрим какой-нибудь эллипс и введём декартову прямоугольную систему координат так, чтобы этот эллипс определялся каноническим уравнением
.
Предположим, что
рассматриваемый эллипс не является
окружностью, т.е. что
и, следовательно,
.
Предположим ещё, что этот эллипс вытянут
в направлении оси
,
т.е. что
.
Определение 6.
Две прямые, перпендикулярные к большой
оси эллипса и расположенные симметрично
относительно центра на расстоянии
от него, называются директрисами
эллипса.
Уравнение директрис в выбранной системе координат имеют вид
и
.
Первую из них мы условимся называть левой, вторую – правой.
Так как для эллипса
,
то
.
Отсюда следует, что правая директриса
расположена правее правой вершины
эллипса; аналогично, левая директриса
расположена левее его левой вершины.
Эллипс вместе с директрисами изображён
на рис. 7.
Рис. 7
Рассмотрим какую–нибудь гиперболу и введём декартову прямоугольную систему координат так, чтобы эта гипербола определялась каноническим уравнением
.
Определение 7.
Две прямые, перпендикулярные к той оси
гиперболы, которая её пересекает, и
расположенные симметрично относительно
центра на расстоянии
от него, называются директрисами
гиперболы.
Уравнение директрис в выбранной системе координат имеют вид
и
.
Первую из них мы условимся называть левой, вторую – правой.
Так как для
гиперболы
,
то
.
Отсюда следует, что правая директриса
расположена между центром и правой
вершиной гиперболы; аналогично, левая
директриса расположена между центром
и левой вершиной. Гипербола вместе с
директрисами изображена на рис. 8.
Рис. 8.
Значение директрис эллипса и гиперболы выявляется следующими двумя теоремами.
Теорема 1.
Если
– расстояние от произвольной точки
эллипса до какого–нибудь фокуса,
– расстояние от той же точки до
соответствующей этому фокусу директрисы,
то отношение
есть постоянная величина, равная
эксцентриситету эллипса:
.
Доказательство:
Предположим для определённости, что
речь идёт о правом фокусе и правой
директрисе. Пусть
– произвольная точка эллипса (см. рис.
7). Расстояние от
до правой директрисы выражается
равенством
,
а расстояние от
до правого фокуса даётся второй из
формул (7):
.
Отсюда имеем:
.
Теорема доказана. ■
Теорема 2.
Если
– расстояние от произвольной точки
гиперболы до какого–нибудь фокуса,
– расстояние от той же точки до
соответствующей этому фокусу директрисы,
то отношение
есть постоянная величина, равная
эксцентриситету гиперболы:
.
Доказательство:
Предположим для определённости, что
речь идёт о правомй фокусе и правой
директрисе. Пусть
– произвольная точка гиперболы (см.
рис. 8). Нам придётся рассмотреть два
случая:
-
Точка
находится на правой половине гиперболы.
Тогда расстояние от
до правой директрисы выражается
равенством
,
а расстояние от
до правого фокуса даётся второй из
формул (10):
.
Отсюда имеем:
.
-
Точка
находится на левой половине гиперболы.
Тогда расстояние от
до правой директрисы выражается
равенством
,
а расстояние от
до правого фокуса даётся второй из
формул (15):
.
Отсюда имеем:
.
Теорема доказана. ■
Свойство эллипса и гиперболы, выраженное предыдущими теоремами, можно положить в основу определения этих линий. Именно
Определение 8.
Геометрическое место точек, для которых
расстояние
от некоторой фиксированной точки
(фокусу) и расстояние
до некоторой фиксированной прямой
(директрисы) находятся в постоянном
отношении
,
(18)
есть эллипс, если
,
гипербола, если
,
парабола, если
.
5°. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы.
Воспользуемся определением 8 для вывода полярного уравнения эллипса, гиперболы и параболы (по форме записи общее для этих трёх линий) при некотором специальном расположении полярной оси. Отметим, что в случае гиперболы это уравнение определяет линию не целиком, а только одну её ветвь.
Пусть нам дана
какая–нибудь из названных линий (эллипс,
гипербола или парабола, если данная
линия гипербола, то мы будем рассматривать
какую–нибудь одну её ветвь) и пусть
– фокус линии,
– соответствующая этому фокусу директриса
(в случае гиперболы в качестве
и
возьмём фокус и директрису, ближайшие
к рассматриваемой ветви).
Введём полярную
систему координат так, чтобы полюс
совместился с фокусом
,
а полярная ось была перпендикулярно к
директрисе и направлена от неё к фокусу
(рис. 9). Обозначим, как обычно через
полярные координаты произвольной точки
на линии. Чтобы вывести уравнение линии,
будем исходить из соотношения (18)
,
где
– эксцентриситет линии, а
и
имеют тот же смысл, что и в пунктах
1°–3°.
Рис. 9.
Так как полюс
совмещён с фокусом
,
то
.
(19)
Далее,
.
(20)
Пусть
– точка, расположенная на линии так,
что отрезок
перпендикулярен к полярной оси, и
– длина отрезка
(для параболы,
совпадает с её параметром).
Из (18) имеем
,
Откуда
.
Но
;
следовательно,
.
Из последнего равенства и равенства (20) получаем:
.
Подставляя в (18)
вместо
и
их выражения (19) и (20), найдём:
,
откуда,
.
(21)
Уравнение (21)
является полярным уравнением эллипса,
гиперболы (вернее одной ветви гиперболы)
и параболы. Здесь
– фокальный параметр,
– эксцентриситет кривой. Уравнение
(21) широко используется в небесной
механике.