- •§10. Подпространства линейных пространств
- •Примеры:
- •Лемма 3.
- •2О. Ранг матрицы как максимальное число линейно независимых строк (столбцов).
- •Пример:
- •– Ступенчатая матрица.
- •5О. Прямая сумма подпространств
- •Обозначение. .
- •6О. Преобразование координат вектора при изменении базиса векторного пространства.
5О. Прямая сумма подпространств
Пусть и – два подпространства линейного пространства .
Определение 8. Будем говорить, что векторное пространство представляет собой прямую сумму подпространств и , если может быть единственным образом представлен в виде суммы , где , .
Обозначение. .
В этом случае говорят, что разложимо в прямую сумму подпространств.
Обобщение. Если – подпространства мжет быть единственным образом представлен в виде , где , то сумма называется прямой суммой и обозначается .
Пример. Пусть – –мерное линейное пространство с базисом . Пусть , т.е. – линейная оболочка, натянутая на вектор :.Тогда .
Возможность других представлений следуе из
Теорема 7. Для того, чтобы пространство было прямой суммой своих подпространст и достаточно, чтобы .
Доказательство. Пусть – базис и – базис в и . Докажем, что – базис в . Так как по условию , то достаточно показать, что – линейно независимы. Рассмотрим ситуационную комбинацию эих элементов и приравняем её к нулю:
т.к. слева , а справа , а , вектора – линейно независимы.
Таким образом, может быть разложен по базису:
,
где и , т.е. .
Осталось показать, что такое представление единственно.
Пусть и т.к. . ■
Замечание. Если , но сумма не прямая, то представление не единственно. Например,
и – подпространства и . На и . Иначе дело обстоит, если – такое же, а .
6О. Преобразование координат вектора при изменении базиса векторного пространства.
Пусть в –мерном векторном пространстве даны два базиса и . Каждый из векторов разложим по базису :
, |
(3) |
или, кратко,
. |
(3’) |
Координаты разложения векторов «нового» базиса по старому запишем в виде матрицы
,
столбцами которой являются координаты векторов в базисе . Поэтому столбцы матрицы линейно независимы и значит .
Определение 9. Матрица, –ый столбец которой состоит из координат вектора в базисе , называется матрицей перехода от базиса к базису .
Если ввести в рассмотрение матрицы–строки и , то формулы (3) можно переписать в виде
.
Так как , то , т.е. − матрица перехода от к .
Теорема. Пусть в задан базис . Тогда любая матрица : , является матрицей перехода от к некоторому другому базису .
Доказательство. Так как , то столбцы линейно независимы они служат координатами линейно независимых векторов, которые можно выбрать в качестве нового базиса в .
Теперь рассмотрим, как связаны координаты вектора в различных базисах. Пусть вектор имеет координаты и в базисах и соответственно, т.е.
и .
В силу , откуда в силу единственности разложения по базису имеем .
Пример. Пусть рассматриваются вектора на плоскости и пусть . Пусть новый базис получается из старого поворотом на угол против часовой стрелки. Тогда , и матрица перехода имеет вид:
.
Поэтому
.