Примеры.
1) . порождается вектором //, // . Обычно вместо пишут , т.е. − параметрические уравнения прямой на плоскости.
2) . порождается вектором − параметрические уравнения прямой в трехмерном пространстве.
3) . натянуто на векторы , − параметрические уравнения плоскости в трехмерном пространстве.
3˚. Задание плоскостей в аффинном пространстве как решения системы линейных уравнений.
Пусть в –мерном аффинном пространстве А введена некоторая система координат. Тогда каждой точке может быть поставлена в соответствие система чисел .
Рассмотрим систему алгебраических уравнений:
(3) |
и пусть . Каждое решение системы (3) можно истолковывать как точку в А.
Теорема 2. Все решения системы (3) образуют в А плоскость размерности .
Доказательство: Пусть − одно из решений (3), т.е.
. |
(4) |
Вычитая (4) из (3), получаем:
. |
(5) |
Если обозначить , то (5) – система однородных уравнений на , ранг системы равен , и, следовательно, множество решений этой системы образует подпространство размерности , базисом которого является фундаментальная система решений. Пусть это векторы . Тогда
. |
(6) |
Уравнения (6) – векторные параметрические уравнения плоскости (см. (1)), направляющим пространством которой является линейная оболочка фундаментальной системы решений системы (5). ■
Таким образом, если плоскость не проходит через начало координат, то она определяется как множество решений СЛНУ, если через начало координат, то − СЛОУ.
Если , т.е. гиперплоскость определяется одним линейным уравнением с неизвестными. Так как любая плоскость – система линейных уравнений, то любая плоскость может рассматриваться как пересечение нескольких гиперплоскостей.
Пример. Пусть в А плоскость задана системой уравнений , , . Найти параметрическое уравнение плоскости.
Здесь , т.е. рассматривается 3–мерная плоскость.
Частным решением рассматриваемой системы уравнений является . Значит, плоскость проходит через точку . Для соответствующей СЛОУ
фундаментальная система решений может быть задана векторами
.
Следовательно, векторное параметрическое уравнение плоскости имеет вид
,
а в координатах оно имеет вид
, , , , , .
4˚. Прямая линия и гиперплоскость.
Прямая линия имеет место, если − параметрическое уравнение прямой. Будем говорить, что эта прямая проходит через точку и имеет направляющий вектор .
Пусть на прямой заданы две точки и . Тогда согласно замечанию 3, эти две точки полностью определяют исследуемую прямую. В качестве направляющего вектора можно выбрать получаем следующее уравнение прямой, проходящей через две точки:
.
Исключая из этих уравнений , уравнение прямой можно переписать в виде:
− уравнение прямой, проходящей через две точки, или, с использованием направляющего вектора :
− уравнения прямой с направляющими коэффициентами или канонические уравнения прямой.
Очевидно, что прямая есть решение системы независимых уравнений.
Пример. − уравнение прямой в пространстве. − уравнение прямой на плоскости.
Для гиперплоскости и она определяется одним уравнением первого порядка. Через точек, находящихся в общем положении, проходит единственная гиперплоскость. Как её построить? Пусть − точек с координатами . Тогда произвольная точка лежит на гиперплоскости, тогда и только тогда, когда векторы − линейно зависимы. Это выражается равенством
.
Разлагая по первой строке, видим, что это уравнение первой степени.