5. Приклади проведення постоптимального аналізу

3.5.1. Задача 1

Розв’язати ЗЛП графічно. Виконати постоптимальний аналіз.

Мінімізувати	,
при обмеженнях	;	(ресурс 1)	(1)
	;	(ресурс 2)	(2)
	;	(ресурс 3)	(3)
	;		(4)
	.		(5)

Розв’язання

Рис. 15

1. Множина допустимих розв’язків даної задачі – чотирикутник ABCD. Оптимальному розв’язку відповідає точка А з координатами x₁ = 0,8; x₂= 0,6; = 1,4.

2. Гранично допустиме збільшення запасу дефіцитних ресурсів. Під покращенням значення ЦФ у цьому разі розуміємо його зменшення.

Ресурси 1 і 2 є дефіцитними. Для покращення значення ЦФ рівень цих запасів повинен бути зменшений.

Із зменшенням правої частини b₁ обмеження (1) пряма AD рухається вліво вниз. З досягненням точки Е (0; 1) відповідне обмеження стає надлишковим. У цьому випадку простором допустимих розв’язків стане чотирикутник BCDE.

Визначимо максимально допустимий запас ресурсу 1, підставивши координати точки Е в ліву частину обмеження (1):

.

Тоді

(від’ємне значення ∆b₁ вказує на необхідність зменшення правої частини обмеження). Таким чином, цінність ресурсу 1 складає y₁ = (–0,4)/(–2) = 0,2.

Результати аналізу дефіцитних і недефіцитних ресурсів зведені у табл. 36:

Таблиця 36

Ре­сурс, і	Тип ресур­су	Нова ОДР	Нові зв’яз. обмеж-ення	Новий опти­мум	Макси­маль­на зміна за­пасу ре­сур­су,	Макси­мальна зміна ЦФ,	Цін­ність оди­ниці ресур­су,
1	Дефі­цит­ний	Чотири­кут­ник BCDE	(2), (5)	т. Е (0; 1)	1 –3 = –2	1 – 1,4 = –0,4	0,2
2	Дефі­цит­ний	Три­кут­ник CDF	(1), (4)	т. F (1; 0)	1 –2 = –1	1 – 1,4 = –0,4	0,4
3	Недеф­іцит­ний	т. А	(1), (2), (3)	т. А	1,4 – 3 = –1,6	0	0

3. Визначення границь допустимої зміни коефіцієнтів ЦФ

3.1. Зафіксуємо значення коефіцієнта с₂ ( с₂=1) та визначимо інтервал зміни с₁, при якому точка А залишатиметься оптимумом:

• коефіцієнт c₁ може збільшуватися (при цьому нормаль та пряма ЦФ обертаються за годинниковою стрілкою) доти, поки пряма z не буде збігатися з прямою (1), тоді максимальне значення c₁:

.

• коефіцієнт c₁ може зменшуватися (при цьому нормаль та пряма ЦФ обертаються проти годинникової стрілки), поки пряма z не буде збігатися з прямою (2), тоді максимальне значення c₁:

.

Отже, допустимий інтервал змін c₁: 0,5< c₁ < 3.

3.2. При фіксованому значенні коефіцієнту c₁ обертання прямої ЦФ обмежене прямими (1) та (2). Звідси допустимі інтервали зміни c₂: < c₂ < 2.

Перевірка

Вихідне значення коефіцієнта c₁ дорівнює 1, це значення потрапляє в отриманий інтервал: c₁ = 1  ]0,5; 3[. Вихідне значення коефіцієнта с₂ дорівнює 1, це значення потрапляє в отриманий інтервал: с₂ = 1  ]1/3; 2[.

Висновки

1. Оптимальний розв’язок ЗЛП: x₁ = 0,8; x₂ = 0,6; z^opt = 1,4.

1. Ресурси 1, 2 є дефіцитними:

• максимально можливе зменшення рівня запасів ресурсу 1 дорівнює 2 (тобто рівень запасів цього ресурсу можна зменшити до 1), максимально можливе зменшення значення ЦФ при цьому складає 0,4;

• максимально можливе зменшення рівня запасів ресурсу 2 дорівнює 1, максимально можливе зменшення значення ЦФ при цьому складає 0,4.

2. Ресурс 3 є недефіцитним. При зменшенні рівня його запасів на 1,6 оптимальний розв’язок не зміниться.

2. Цінності ресурсів 1 і 2 відповідно складають 0,2 та 0,4.

3. Можливі інтервали варіювання коефіцієнтів ЦФ, при яких оптимум не зміниться: 0,5 < c₁ < 3; < c₂ < 2.