Раздел_1

(1.1.17)

где – компонент тензора магнитострикционных констант.

Как видно из выражений (1.1.17) уравнения состояния сохраняют основные качественные моменты экспериментально наблюдаемых магнитострикционных эффектор – четность эффекта Джоуля и изменение намагниченности деформируемого (предварительно намагниченного) ферромагнетика (эффект Виллари).

Предположим, что напряженность магнитного поля в магнитострикционном материале складывается из двух составляющих – напряженности постоянного магнитного поля и напряженности переменного магнитного поля , т. е. . Будем полагать, что выполняется неравенство . После подстановки компонентов вектора напряженности результирующего магнитного поля в уравнении состояния (1.1.17) их можно разделить на две пары – статические уравнения состояния

(1.1.18)

в которых верхний символ «ноль» подчеркивает, что снабженная им физическая величина не изменяется во времени, и динамические уравнения состояния

(1.1.19)

При записи уравнений состояния (1.1.19) слагаемые вида , которые значительно меньше составляющих , были опущены.

Необходимо подчеркнуть, что экспериментальное определение магнитной проницаемости сопряжено со значительными трудностями – возникают те же проблемы, что и при измерении диэлектрической проницаемости . Наиболее просто измеряется величина , т. е. магнитная проницаемость в режиме постоянства (равенства нулю) результирующих механических напряжений. Между указанными величинами магнитных проницаемостей существует линейная связь, которая описывается следующим выражением

,

где – компоненты тензора упругих податливостей твердого тела, измеренные в режиме постоянства напряженности магнитного поля.

Уравнение состояния (1.1.19) описывает линейные (относительно независимых переменных и ) эффекты в поляризованной постоянным магнитным полем магнитострикционной среде. Порядок величин можно оценить из первого уравнения системы (1.1.19). Если внешние механические воздействия отсутствуют, то в намагниченном ферромагнетике отсутствуют внутренние напряжения, т. е. . Если принять, что адиабатические модули упругости имеют порядок модуля Юнга, т. е. 10¹¹ Н/м², а =10³ А/м, то при наблюдаемой деформации величины Н/А².

Очевидно, что линеаризованные уравнения состояния поляризованного сегнетоэлектрика имеют аналогичный уравнениям (1.1.19) вид, т. е.

(1.1.20)

где – компонент тензора электрострикционных констант; – компонент вектора напряженности поляризующего материал постоянного электрического поля.

Уравнения состояния (1.1.19) и (1.1.20) можно записать в обобщенном виде

(1.1.21)

где символом обозначена напряженность электрического или магнитного поля; – компонент тензора стрикционных констант; – n-й компонент вектора индукции электрического или магнитного поля; – компонент тензора диэлектрической или магнитной проницаемости. В уравнениях (1.1.21) опущен символ * для краткости записей, хотя указанная система уравнений описывает динамическое (изменяющееся во времени) состояние поляризованной среды со стрикционными эффектами.

По аналогии с обобщениями, которые были сделаны при записи системы уравнений (1.1.21), можно записать обобщенные уравнения состояния пьезоактивной среды

(1.1.22)

где – компонент тензора пьезоактивных констант.

Сравнивая между собой уравнения состояния (1.1.21) и (1.1.22), легко заметить, что

. (1.1.23)

Для того чтобы пользоваться соотношением (1.1.23) при выполнении практических вычислений, необходимо выяснить свойства тензора стрикционных констант. В общем случае это довольно сложная задача. Однако для изотропных материалов (а смеси, из которых изготавливают магнитострикционные ферриты и пьезоэлектрические керамики, очевидно, являются изотропными по всем физическим проявлениям) свойства тензора стрикционных констант установить несложно. Так как материал изотропен, то его стрикционные свойства одинаковы во всех направлениях. Это означает, что матрица тензора стрикционных констант не изменяет своей структуры при произвольных поворотах координатных осей. Последнее является логическим следствием того, что стрикционные эффекты в изотропных материалах одинаково проявляются в любом, произвольно выбранном направлении.

Требуемым свойствам удовлетворяет тензор четвертого ранга, компоненты которого вычисляются по формуле

, (1.1.24)

где и – линейно независимые, экспериментально определенные константы; , , … – символы Кронекера.

Покажем, что тензор, компоненты которого определяются по формуле (1.1.24), является изотропным тензором четвертого ранга.

В произвольно повернутой системе координат компоненты тензора стрикционных констант , как компоненты тензора четвертого ранга, определяются, как известно из вузовских курсов линейной алгебры, следующим образом

, (1.1.25)

где , , … – направляющие косинусы, значения которых определяются углом поворота системы координат.

Подставляя в выражение (1.1.25) соотношение (1.1.24), получаем

.

Несложно заметить, что . Но и . Аналогичные преобразования надо выполнить над сомножителями при константе . После всех преобразований приходим к выводу, что

. (1.1.26)

Сопоставляя выражения (1.1.24) и (1.1.26), убеждаемся, что структура матрицы тензора стрикционных констант не изменилась, что и требовалось доказать.

Из определения (1.1.24) следует, что ; и , а компоненты, соответствующие другим комбинациям индексов, равны нулю. Обозначим , а , тогда выражение (1.1.24) следует представить в виде

. (1.1.27)

Пользуясь формулой (1.1.27) определим, согласно выражению (1.1.23), матрицу пьезоактивных констант поляризованной произвольным образом стрикционной среды, т. е. будем считать, что вектор имеет три, отличных от нуля, компонента.

Первый элемент первой строки матрицы определяем по формуле (1.1.23) следующим образом

.

Согласно выражению (1.1.27) , а и поэтому . Рассуждая аналогичным образом, находим, что и . Элемент . Величина . Аналогичным образом определяется . Подобно тому, как были определены элементы первой строки матрицы пьезоактивных констант, определяются элементы второй и третьей строк. В результате получаем следующую матрицу пьезоактивных констант

. (1.1.28)

Из обобщенной матрицы пьезоактивных констант (1.1.28) можно получить сведения о пьезомодулях при различных направлениях вектора поляризующего поля. Рассмотрим несколько конкретных примеров.

П редположим, что прямоугольная пластинка из пьезокерамики (рис. 1.1.2) поляризована по толщине. Матрица пьезомодулей этого пьезоэлемента определяется из обобщенной матрицы (1.1.28) путем замены символов на символы компонентов вектора напряженности электрического поля, т. е. на символы . При этом, естественно, символы и заменяются символами и . Так как вектор напряженности поляризующего электрического поля ориентирован вдоль оси , то его компоненты , а . Подставляя эти значения в обобщенную матрицу пьезомодулей (1.1.28), получаем матрицу пьезомодулей поляризованной по толщине пьезокерамической пластинки:

. (1.1.29)

При записи матрицы (1.1.29) использованы символы, которые обычно не применяются. Потребителя изделия (в данном случае поляризованной по толщине пластинки из пьезокерамики) не интересует, да и не должны интересовать такие технологические подробности, как электрострикционные константы материала и напряженность электрического поля. В силу этих причин матрица (1.1.29) представляется с помощью следующей символики

(1.1.30)

с дополнительным комментарием о том, что и , и с указанием численных значений пьезоэлектрических констант.

Необходимо отметить, что предполагаемый подход к определению пьезоэлектрических модулей пьезокерамики отличается от общепринятого [7], согласно которому поляризованной по толщине пьезокерамической пластинке приписывается определенная кристаллическая структура, после чего записывается матрица типа (1.1.30), в которой помимо элементов матрицы (1.1.30) содержатся элементы и . Авторы упомянутой работы [7] отмечают, что элементы матрицы и в экспериментах не обнаруживаются, и делают предположение, что величины и проявляются в экспериментах в области сверхвысоких частот. Как видно из записи (1.1.30), в составе матриц пьезоэлектрических констант, построенной на основе разумного предположений об изотропии и предполяризационного состояния пьезокерамики, отсутствуют ненаблюдаемые в эксперименте величины.

Д овольно часто изделие из пьезокерамики и магнитострикционных ферритов имеют формы, которые удобнее всего описывать не в декартовой (физической) системе координат, а той или иной криволинейной ортогональной системе координат. В этом случае необходимо определить соответствие между символами координатных линий в криволинейной системе координат и номерами осей декартовой системы. Это соответствие устанавливается на основании геометрического подобия трехгранников, построенных из ортов (единичных векторов) координатных систем. На рис. 1.1.3 изображены координатные линии декартовой и цилиндрической систем координат и построены трехгранники из единичных векторов и . Оба трехгранника являются правовинтовыми и стало быть геометрически подобными друг другу. Из подобия трехгранников следует подобие символов координатных линий, т. е. устанавливается следующее соответствие между символами и номерами 1, 2, 3: ; ; .

Рассмотрим пьезоэлектрическую оболочку (рис. 1.1.4) изготовленную из поляризованной по толщине пьезокерамики.

Так как оболочка поляризована по толщине, т. е. в радиальном направлении (рис. 1.1.4), то заменяя в матрице (1.1.28) на , а и полагая равными нулю, получаем следующую матрицу пьезоэлектрических констант

,

где и .

Для выполнения количественных оценок значений элементов матрицы пьезоактивных констант, можно, в первом приближении, пользоваться соотношением .

Предположим. что плоское кольцо из магнитострикционного феррита поляризовано в окружном направлении (в направлении криволинейной оси полярных углов рис. 1.1.3) магнитным полем . Это легко реализуется путем пропускании постоянного тока по равномерно распределенным по окружности кольца виткам провода. В этом случае матрица пьезомагнитных констант имеет, очевидно, следующий вид

,

где и , причем и .

Рассмотрим вкратце структуру матриц материальных констант природных пьезоэлектриков, т. е. кристаллических твердых тел. Начнем с тензора модулей упругости , который фигурирует в адиабатической формулировке обобщенного закона Гука (1.1.16).

Четыре индекса , приобретая значения 1, 2, 3, образуют 81 комбинацию, Сообразно этому числу комбинаций индексов следует ожидать, что тензор модулей упругости имеет 81 компонент. В действительности число компонентов модулей упругости гораздо меньше. Несложно показать, что компоненты тензора модулей упругости симметричны по первой и второй парам чисел. Действительно, запишем два выражения:

которые отличаются друг от друга порядком следования индексов во второй паре. Если из первого выражения вычесть второе, то, с учетом свойств симметрии тензора деформации, можно записать:

.

Последнее равенство будет выполняться тогда, когда

.

Аналогичным образом доказывается, что . Так как тензор модулей упругости симметричен по каждой из двух пар индексов, то число неэквивалентных пар индексов снижается до и, заменив каждую из пар тензорных индексов матричным (), тензор модулей упругости можно представить квадратной матрицей, в которой шесть строк и шесть столбцов и, следовательно, может содержаться 36 элементов. Ели обратиться к определению тензора модулей упругости через термодинамический потенциал Гиббса, то нетрудно увидеть, что

,

так как

,

т. е. результат дифференцирования не зависит от порядка выполнения операций.

Последнее свойство – симметрия относительно перестановок пар индексов – приводит к тому, что матрица ставиться симметричной относительно диагонали, проведенной из левого верхнего угла в правый нижний. Неравные друг другу элементы матрицы модулей упругости располагаются по одну сторону диагонали, и в общем случае матрица модулей упругости имеет вид:

. (1.1.31)

Нетрудно посчитать, что в матрице (1.1.31) содержится 21 элемент – таково в общем случае наибольшее число неравных друг другу компонентов тензора модулей упругости кристаллического твердого тела. Наличие элементов симметрии [8 – 12] существенным образом снижает число неравных друг другу модулей упругости в матрице (1.1.31). В книгах [13 – 15] этот вопрос излагается с исчерпывающей полнотой.

К сказанному выше необходимо добавить, что переход от пары тензорных индексов одному матричному индексу выполняется по следующей схеме: ; ; ; ; ; .

Рассмотрим тензор пьезомодулей . Так как это тензор третьего ранга, то, в принципе, набор чисел в трех индексах образует 27 неэквивалентных комбинаций. Каждой из комбинаций соответствует свой компонент тензора и, общем случае следует ожидать, что тензор пьезомодулей имеет 27 компонентов. Однако, несложно установить, что тензор пьезомодулей симметричен относительно операции перестановки второго и третьего индексов, т. е. тензор симметричен по паре индексов , которые при этом образуют всего шесть неэквивалентных комбинаций. Последнее приводит к 18 неэквивалентным комбинациям индексов и, стало быть, к 18 различным компонентам тензора пьезоэлектрических констант. Отмеченное выше свойство симметрии доказывается элементарно:

₋

,

откуда видно, что . Заменив пару тензорных индексов одним матричным , можем представить тензор пьезоэлектрических модулей в виде матрицы, в которой имеется три строки (=1,2,3) и шесть столбцов ( = 1, 2, … , 6):

.

Выше уже говорилось о том, что при различных наборах независимых переменных получаются различные варианты уравнений состояния пьезоактивной среды. Необходимость обращения к другим вариантам конструкций уравнений состояния обусловлена следующим обстоятельством. В уравнения (1.1.13) и (1.1.14) входят величины и − электрическая и магнитная проницаемости, которые измеряются в режиме постоянства деформаций. Реализовать этот режим в эксперименте практически невозможно, по крайней мере, очень трудно. Это можно сделать, например, путем размещения исследуемого образца в абсолютно недеформируемой обжимке. Более или менее или менее приемлемым материалом для такой обжимки может быть назван алмаз. Но и это не все. Если образец достаточно массивны, то в нем может возникнуть неоднородное напряженно деформируемое состояние, т. е. не исключено, что внутри пьезоактивного материала в ходе измерения проницаемостей будут возникать местные (локальные) деформации. Кроме того, измерения проницаемостей осуществляется в переменных полях. И если увеличению размеров образца как-то можно противостоять, то уменьшению этих размеров при смене знака электрического или магнитного поля воспрепятствовать невозможно. Последнее фактически эквивалентно утверждению, что режим постоянства (равенства нулю) деформаций в процессе экспериментального определения диэлектрической или магнитной проницаемости невозможно обеспечить.

Гораздо более просто реализуется режим постоянства напряжений. Для этого необходимо лишь освободить образец от всех механических связей и подобрать частоту смены знака напряженности электрического или магнитного поля , на которой измеряется проницаемость, такой, чтобы масштаб неоднородности напряженно деформируемого состояния существенно превышал максимальный размер образца. При этом можно утверждать, что в образце реализуется однородное напряженно деформированное состояние, т. е. на поверхности и внутри испытуемого образца результирующие напряжения образца равны нулю.

Диэлектрическая проницаемость , т. е. проницаемость, измеряемая в режиме постоянства результирующего напряжения, появляется в уравнениях состояние тогда, когда в качестве независимых переменных выбираются величины и . При этом, естественно, подразумевается, что речь идет об адиабатических вариантах уравнений состояния пьезоэлектрика, т. е. уравнений типа (1.1.13). Итак, при независимых переменных и уравнения состояния пьезоэлектрика имеют вид:

(1.1.32)