А.И. Шарафутдинов - Решение метрических задач

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Основными способами преобразования чертежа являются преобразо- вание чертежей, способ вращения вокруг заданной оси и вращение вокруг линии уровня.

Способ перемены плоскостей проекции

Суть данного способа заключается в том, что положение фигур в про- странстве не изменяется, а система плоскостей проекции П1 и П2 дополняется плоскостями, образующими с горизонтальной или фронтальной плоскостью две взаимно-перпендикулярные плоскости, принимаемые за плоскости про- екции.

Новая система выбирается таким образом, чтобы по отношению к по- строению фигур она заняла положение, наиболее удобное для необходимо- го построения. При этом дополнительная плоскость проекции должна быть перпендикулярной одной из основных плоскостей и расположена на произ- вольном расстоянии относительно другой основной плоскости проекции.

Алгоритм построения

1.Вводится дополнительная плоскость

проекции П4, расположенная пер- пендикулярно П1 и произвольно П2.

2.Происходит замена одной из основ- ных плоскостей проекции. В данном случае происходит замена фрон- тальной плоскости П2.

3.В новой системе плоскостей проек-

ции П1/П4 из точки А1 опускается перпендикуляр к оси х1,4.

4.Расстояние от точки А2 до оси х1,2 откладывается на полученном пер-

пендикуляре в дополнительной

плоскости П4 от оси х1,4 (рис. 1).

По необходимости могут быть введены последовательно несколько до- полнительных плоскостей проекции.

Способ вращения

Суть данного метода заключается в том, что положение фигур путём по- ворота вокруг некоторой оси изменяется таким образом, что фигуры оказы-

ваются в частном положении относительно неизменной системы плоскостей вращения.

3

При вращении вокруг неподвижной прямой каждая точка вращающейся фигуры перемещается в плоскости, перпендикулярной данной оси вращения и относительно центра вращения.

Алгоритм построения

1.Задаётся ось вращения, перпенди- кулярная одной из плоскостей про- екции. В данном случае ось i пер-

пендикулярна горизонтальной плоскости П1.

2.Точка А1, двигаясь вокруг центра вращения i1 ≡ O1, проецируется на плоскость П1 без искажения и пре- образуется в новую горизонталь- ную проекцию А1’.

3.По линиям связи находится фрон- тальная проекция точки А1’ (рис. 2).

Способ вращения вокруг линии уровня

Суть данного метода заключается в том, что точка перемещается по ок- ружности, перпендикулярной вокруг линии уровня одной из плоскостей про- екции - горизонталь или фронталь.

Алгоритм построения

1.Задаётся ось вращения, относи- тельно одной из основных плоско- стей проекций. В данном случае за ось вращения взята горизонталь h.

2.Для определения радиуса враще-

ния в плоскости П1 строится пря- моугольный треугольник О1А1А1’.

При этом за катет прямоугольного треугольника принимается гори-

зонтальная проекция О1А1. Второй катет находится превышением вы- сот точки А2.

3.Пересечением дуги окружности, проведённой из горизонтальной проек-

ции центра вращения О1 радиусом R с горизонтальным следом плоскости Ʃ П1, находится точка А1’’.

4.По линиям связи находится фронтальная проекция точки А2’’ (рис. 3).

4

2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Определить натуральную величину отрезка методом перемены плоскостей

Алгоритм решения

1.По заданным координатам точек строятся проекции отрезка AS.

2.Вводится дополнительная плоскость П4 П2, расположенная таким образом, чтобы отрезок АS стал прямой уровня от-

носительно плоскости П4. Замене подле- жит любая из основных плоскостей про- екции. В данном случае происходит заме-

на горизонтальной плоскости П1, и ось х2,4

располагается параллельно фронтальной проекции отрезка AB.

3.Из каждой фронтальной проекции точек проводятся новые проекционные

связи перпендикулярно оси х2,4. На них от

оси х1,4 откладываются расстояния z для каждой точки соответственно.

4.Проекция A4S4 является натуральной величиной отрезка AS, а угол φ – уг- лом наклона отрезка AS к фронтальной плоскости (рис. 4).

Задача 2. Определить натуральную величину отрезка методом вращения

Алгоритм решения

1.По заданным координатам точек строятся проекции отрезка AS.

2.Задаётся ось вращения, перпендикулярная одной из основных плоскостей проекции. В

данном случае ось i проходит через точку S и перпендикулярна фронтальной плоскости П2.

3.Точка А2 движется вокруг центра вращения i2 ≡ S2 и преобразуется в новую фронтальную проекцию А2’. Полученная проекция А2’S2 становится прямой уровня.

4.По линиям связи находится фронтальная проекция точки А1’.

5.Проекция А1’S1 A4S4 является натуральной величиной отрезка AS, а угол φ

– углом наклона отрезка AS к фронтальной плоскости (рис. 5).

5

Задача 3. Найти расстояние между двумя скрещивающимися отрезками

Расстояние между скрещивающимися прямыми измеряется отрезком перпендикуляра к обеим прямым. Задача может быть решена как способом плоскопараллельного перемещения, так и способом перемены плоскостей. Ход решения задачи способом перемены плоскостей представлен ниже.

сти П4. Замене подлежит любая из основных плоскостей проекции. В

данном случае происходит замена фронтальной плоскости П2 и ось х2,4 располагается параллельно фронтальной проекции отрезка CS.

3.Из каждой горизонтальной проекции точек проводятся новые проекци- онные связи перпендикулярно оси х1,4. На них от оси х1,4 откладываются

6

расстояния, соответственно равные расстоянию от оси х1,2 до фронталь- ных проекций каждой точки.

4. Для того чтобы CS стала проецирующей, вводится ещё одна дополни- тельная плоскость П5 П4. Ось х4,5 располагается перпендикулярно про-

екции C4S4

5.Из каждой точки А4, B4, C4, S4 проводятся линии связи, перпендикулярные оси х4,5. На них от оси х4,5 откладываются расстояния, соответственно рав- ные расстоянию от оси х1,4 до горизонтальной проекции каждой точки.

6.Отрезок CS спроецировался в точку С5 ≡ S5, из которой опускается пер- пендикуляр на проекцию А5B5. Значение d является расстоянием между двумя скрещивающимися отрезками AB и CS. (Рис. 6).

Задача 4. Определить натуральную величину двухгранного угла при ребре АС

Алгоритм решения

1.По заданным координатам точек строятся проекции двухгранного угла с учётом видимости рёбер. Видимость определяется способом конкури- рующих точек. (Рис. 7).

7

2.Вводится дополнительная плоскость Пn П2, чтобы ребро АС стало пря- мой уровня относительно плоскости дополнительной плоскости. Замене подлежит любая из основных плоскостей проекции. В данном случае этот шаг пропускается, так как ребро АС по построению является линией уровня, параллельной фронтальной плоскости.

3.Для того чтобы АС стала проецирующей, вводится дополнительная плос- кость П4 П2. Ось х2,4 располагается перпендикулярно проекции А2С2.

4.Из каждой точки фронтальной плоскости проводятся линии связи, пер-

пендикулярные оси х2,4. На них от оси х2,4 откладываются расстояния, со-

ответственно равные расстоянию от оси х1,4 до фронтальной проекции каждой точки.

5.Отрезок АС спроецировался в точку А4 ≡ С4, а грани отобразились прямы- ми линиями, угол между которыми и есть искомый двухгранный угол при ребре АС.

Задача 5. Определить натуральную величину треугольника АВС способом перемены плоскостей

Для нахождения натуральной величины треугольника методом переме- ны плоскостей необходимо представить его в виде плоскости уровня, когда одна из проекций будет отображена без искажения по отношению к какой-

4.Из каждой точки горизонтальной плоскости проводятся линии связи,

перпендикулярные оси х1,4. На них от оси х1,4 откладываются расстояния, соответственно равные расстоянию от оси до фронтальной проекции ка- ждой точки.

5.Для преобразования треугольника в плоскость уровня вводится ещё одна дополнительная плоскость П5 П4. Ось х4,5 располагается параллельно

А4В4С4.

6.Из каждой точки А4, В4, С4 проводятся линии связи, перпендикулярные оси х4,5. На них от оси х4,5 откладываются расстояния, соответственно рав- ные расстоянию от оси х1,4 до горизонтальной проекции каждой точки.

8

7.Треугольник АВС занял положение, параллельное плоскости П5, а его проекция А5В5С5 является натуральной величиной (рис. 8).

Задача 6. Определить натуральную величину треугольника АВС способом вращения

Для нахождения натуральной величины треугольника методом враще-

ния необходимо сначала представить треугольник в виде проецирующие плоскости, после чего поворотом вокруг второй заданной оси преобразовать его в плоскость уровня.

Алгоритм решения

1.По заданным координатам точек строятся проекции треугольник АВС.

2.Задаётся ось вращения, перпендикулярная одной из плоскостей проек- ции. В данном случае ось i перпендикулярна горизонтальной плоскости

П1.

3.Проводится фронтальная проекция горизонтали треугольник АВС h па-

раллельную оси х1,2, характеризующаяся точками В2 и М2, после чего по линии связи находит ся горизонтальная проекция точки М1.

9

4.Точка М1 движется вокруг центра вращения i1 ≡ В1, проецируется на плос- кость П1 без искажения и преобразуется в новую горизонтальную проек-

цию М1’ х1,2.

5.Симметрично относительно В1М1’ переносятся точки А1 и С1.

6.По линиям связи находятся фронтальные проекции вершин треугольник

А1’B1C1’.

7.Задаётся вторая ось вращения, перпендикулярная фронтальной плоско- сти.

8.Точки А2’ и В2 движутся вокруг центра вращения i2’ ≡ C2’ проецируется на плоскость П2 без искажения и преобразуются в новую фронтальную про- екцию С2’B2’’A2’’ параллельно оси х1,2.

9.По линиям связи находятся горизонтальные проекции точек С2’, B2’’, A2’’.

10.Треугольник АВС занял положение, параллельное горизонтальной плос-

кости П1, а его проекция А1’’В1’’C1’ является натуральной величиной (рис. 9).

10

Задача 7. Определить натуральную величину треугольника АВС способом вращения вокруг линии уровня

Для нахождения натуральной величины треугольника методом враще- ния вокруг линии уровня необходимо повернуть его вершины по окружно- сти, перпендикулярной вокруг линии уровня одной из плоскостей проекции - горизонталь или фронталь.

Алгоритм решения

1.По заданным координатам точек строятся проекции треугольник АВС.

2.Проводится фронтальная проекция горизонтали треугольник АВС h па-

раллельная оси х1,2, характеризующаяся точками В2 и М2, после чего по линии связи находится горизонтальная проекция точки М1.

11

3.Задаётся ось вращения, совпадающая с горизонталью h и проходящая через точки B и М.

4.Вершины треугольник АВС поворачиваются вокруг принятой оси враще- ния в горизонтальной плоскости. Точка В принадлежит оси вращения, поэтому преобразованию подвергаются только точки А и С.

5.Определяется горизонтальный центр проекции вращения О1 в месте пе- ресечения оси вращения i1 и плоскости вращения горизонтальной про- екции треугольник А1В1С1.

6.Для определения радиуса вращения в плоскости П1 для точки А1 строит- ся прямоугольный треугольник О1А1А1’.При этом за катет прямоугольно- го треугольника принимается горизонтальная проекция О1А1.Второй ка- тет находится превышением высот точки А2.

7.Пересечением дуги окружности, проведённой из горизонтальной про-

екции центра вращения О1 радиусом R1 с горизонтальным следом плос- кости ƩП1, находится точка А1’’.

8.Определяется горизонтальный центр проекции вращения О2 в месте пе- ресечения оси вращения i1 и плоскости вращения горизонтальной про- екции треугольник А1В1С1.

9.Для определения радиуса вращения в плоскости П1 для точки С1 стро- иться прямоугольный треугольник О2C1C1’. При этом за катет прямо- угольного треугольника принимается горизонтальная проекция О1C1. Второй катет находится превышением высот точки C2.

10.Пересечением дуги окружности, проведённой из горизонтальной про-

екции центра вращения О2 с радиусом R2 с горизонтальным следом плоскости ƩП1, находится точка C1’’.

11.Треугольник АВС занял положение, параллельное горизонтальной плос-

кости П1, а его проекция А1’’В1C1’’ является натуральной величиной

(рис.10).

3.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.В чём заключается способ перемены плоскостей проекции?

2.Как задаётся дополнительная плоскость проекции относительно отрезка общего положения, чтобы была найдена натуральная величина отрезка?

3.Как задаётся дополнительная плоскость проекции относительно плоско- сти общего положения, чтобы плоскость приняла вид проецирующей плоскости?

4.Сколько необходимо дополнительных плоскостей проекции для опре- деления натуральной величины треугольника общего положения?

5.В каком случае двухгранный угол проецируется на плоскость в нату- ральную величину?

12