MET-ЧМ-Часть-2

22

Программа решения задачи Коши методом Эйлера дана на рис. 6.2.

CLS

DEF FNY(X,Y)=X^2+Y

DATA 0, 0.3, 1, 0.1 READ A, B, Y0, H PRINT A;Y0

X=A: Y=Y0

1 Y=Y+ FNY(X,Y)*H X=X+H

PRINT X;Y

IF X<B THEN 1 END

Рис. 6.2. Программа решения задачи Коши методом Эйлера.

Пример 6.1. Решить задачу Коши методом Эйлера для дифференци-

ального уравнения

y′ = x2 + y, y(0) = 1 на отрезке [0; 0,3] с шагом 0,1

Решение. По формуле (6.6) вычислим значение y1 y1 = y0 + hf(x0,y0 ) = 1 + 0,1(02 + 1) = 1,1

Аналогично вычисляются последующие значения функции в узловых точках

y2 = y1 + hf(x1,y1 ) = 1,1 + 0,1(0,12 + 1,1) = 1,211

y3 = y2 + hf(x2,y2 ) = 1,211 + 0,1(0,22 + 1,211) = 1,3361

Сеточную функцию записываем в виде таблицы

6.1.2. Модифицированный метод Эйлера.

Модифицированный метод Эйлера позволяет уменьшить погрешность на каждом шаге до величины O(h3 ) вместо O(h2 ) в обычном методе (6.6). Запишем разложение функции в ряд Тейлора в виде:

Аппроксимируем вторую производную с помощью отношения конеч- ных разностей:

yi′′ = yi′+1h− yi′

23

Подставляя это соотношение в (6.7) и пренебрегая членами порядка O(h3 ), получаем:

Полученная схема является неявной, поскольку искомое значение yi +1 входит в обе части соотношения (6.8) и его нельзя выразить явно. Если име- ется хорошее начальное приближение yi , то можно построить решение с ис- пользованием двух итераций следующим образом. Сначала по формуле (6.6)

На рис. 6.3 дана геометрическая интерпретация первого шага вычисле- ний при решении задачи Коши модифицированным методом Эйлера.

y

Рис. 6.3. Модифицированный метод Эйлера.

Пример 6.2. Решить задачу Коши модифицированным методом Эйлера

для дифференциального уравнения

y′ = x2 + y, y(0) = 1 на отрезке [0; 0,3] с шагом 0,1

Решение. По формуле (6.9) вычислим первое приближение y~1 = y0 + hf(x0,y0 ) = 1 + 0,1(02 + 1) = 1,1

Используя формулу (6.10), находим окончательное значение в точке x1 = 0,1

24

Аналогично вычисляются последующие значения функции в узловых

точках

y~2 = y1 + hf(x1,y1 ) = 1,1 + 0,1(0,12 + 1,1055) = 1,21705

Программа решения задачи Коши модифицированным методом Эйлера отличается от приведенной на рис. 6.2 заменой отмеченных строк на сле- дующие:

1Y1=Y+ FNY(X,Y)*H Y=Y+H*(FNY(X,Y)+FNY(X+H,Y1))/2

Пример 6.3. Решить задачу Коши модифицированным методом Эйлера

с помощью программы Excel для дифференциального уравнения y′ = x2 + y, y(0) = 1 на отрезке [0; 1] с шагом 0,1.

=C2+$D$2*(A2^2+C2+A3^2+B3)/2

8)Выделить ячейки A3:С3 и при помощи маркера заполнения ввести формулы в ячейки A4:С4 … A13:С12.

9)Столбцы A и С содержат решение.

25

40,2 1,21705 1,2241275

50,3 1,35054 1,3593609

100,8 2,413492 2,4341896

110,9 2,741609 2,7654795

121 3,123027 3,1504048

Рис. 6.4. Решение задачи Коши модифицированным

методом Эйлера с помощью программы

Excel.

6.1.3. Метод Рунге-Кутта.

На основе метода Рунге-Кутта могут быть построены разностные схе- мы разного порядка точности. Наиболее употребительной является следую- щая схема четвертого порядка:

k3 = hf(xi + h,yi + k2 )

Таким образом, метод Рунге-Кутта требует на каждом шаге четырех- кратного вычисления правой части уравнения. Однако это окупается повы- шенной точностью, что дает возможность проводить счет с относительно большим шагом.

Программа решения задачи Коши методом Рунге-Кутта отличается от приведенной на рис. 6.2 заменой отмеченных строк на следующие:

1K0 = H*FNY(X,Y)

K1 = H*FNY(X+H/2,Y+K0/2)

K2 = H*FNY(X+H/2,Y+K1/2)

K3 = H*FNY(X+H,Y+K2) Y=Y+(K0+2*K1+2*K2+K3)/6

Пример 6.4. Решить задачу Коши методом Рунге-Кутта для дифферен- циального уравнения y′ = x2 + y, y(0) = 1 на отрезке [0; 0,3] с шагом 0,1.

26

Решение. По формулам (6.12) вычислим значения k0 , k1 , k2 , k3 :

27

6.1.4. Оценка точности решения дифференциального уравнения.

Для практической оценки погрешности решения дифференциального уравнения проводят вычисления с шагами h и h /2. За оценку погрешности решения, полученного с шагом h /2, принимают величину, равную

где yih - значение сеточной функции в i -й точке, вычисленное с ша- гом h ;

p - порядок точности, равный 1 для метода Эйлера, 2 для модифици- рованного метода Эйлера и 4 для метода Рунге-Кутта 4-го порядка.

Для достижения заданной точности вычисления повторяют, последова- тельно уменьшая шаг. Процесс вычислений заканчивается, когда для очеред- ного значения h /2 будет выполнено условие h / 2 < ε , где ε - заданная точ- ность.

6.2. Разностные методы решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения.

Линейная краевая задача имеет вид:

28

3. Аппроксимация уравнения:

Для каждой узловой точки xk заменяем функции и производные в уравнениях 6.12-6.13 конечноразностными аналогами:

Получаем ситему n + 1 линейных алгебраических уравнений для оп- ределения n + 1 неизвестных величин yk .

4. Решение СЛАУ.

Система n + 1 уравнений решается методом прогонки.

Пример 6.4. Решить краевую задачу методом конечных разностей с шагом h = 0,1:

y′′ − xy′ + 2xy = 0,8 y(1,2) − 0,5y′(1,2) = 1

y′(1,5) = 2

Решение. Решение проводим в следующей последовательности: 1. Определение сетки:

29

Получим систему четырех линейных алгебраических уравнений с че- тырьмя неизвестными y1 , y2 , y3 и y4 :

y1 - 5(y2 - y1 ) = 1

100(y3 - 2y2 + y1 ) - 6,5(y3 - y1 ) + 2,6y2 = 0,8 100(y4 - 2y3 + y2 ) - 7(y4 - y2 ) + 2,8y3 = 0,8 10(y4 - y3 ) = 2

или

4. Решение системы методом прогонки.

Значения ak , bk , ck , dk записываем в виде таблицы 6.1.

= (2 + 10 × 0,151186)/(10 - 10 × 0,884703) = 3,045925

7. Задачи линейного программирования.

Общая постановка задачи линейного программирования (ЛП) включает

объектов i -того типа (производимых, перевозимых, потребляемых и т.п.).

7.1. Графический метод решения задач линейного программирования.

В случае двух переменных задачи ЛП могут быть решены графически.

Пусть дана задача:

f(x1,x2 ) = c1x1 + c2x2 → max

Введем на плоскости декартову прямоугольную систему координат и сопоставим каждой паре чисел (x1, x2 ) точку плоскости с координатами x1 и x2 . Выясним, прежде всего, что будет представлять собой множество точек, соответствующих допустимым решениям данной задачи.