ODD
.pdf
3. Для определения давления шарика на стенку трубки в положении С
составим дифференциальное уравнение движения шарика в проекции на главную нормаль к траектории
|
mv |
2 |
n |
(32) |
||
|
ρ |
= |
å Fkn . |
|||
|
|
k =1 |
|
|
|
|
Здесь v2 |
|
|
|
|
|
|
- проекция ускорения точки, а F - проекция силы |
|
|
на |
|||
F |
||||||
ρ |
|
|
kn |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
главную нормаль. Положительное направление главной нормали - к центру кривизны кривой.
В нашем случае уравнение (32) примет вид:
mvC2 = NC − mg cos α , откуда NC |
= mvC2 + mg cos α . |
|
2R |
|
2 R |
После подстановки числовых значений имеем: |
|
NC = 26,2 н. |
4. Для нахождения скорости шарика |
в |
положении Д рассмотрим |
движение его на прямолинейном участке ВД . |
Поскольку известны силы, |
|
действующие на шарик на этом участке и время движения по нему, то для нахождения vД используем теорем об изменении количества движения
|
|
t1 |
|
||
mv |
Д − mv |
В = å ò |
|
|
(33) |
Fk dt . |
|||||
0 |
|
|
|
||
На участке ВД на шарик действуют: сила тяжести P , сила трения FT и
нормальная реакция N (рис 4.2).
Спроектируем векторное равенство (33) на направление движения шарика, т.е. на ось Bx :
t1 |
t1 |
|
mv Д − mv В = − ò mg sin βdt − ò |
FT dt , |
|
0 |
0 |
|
FT = fN = fmg cos β , |
|
|
v Д = vВ − g (sin β + f cos β )t1 |
v Д = 4,01м/с. |
|
После подстановки числовых значений получим: |
||
Для определения максимального сжатия пружины рассмотрим дви- жение шарика на участке ДЕ. В точке Д находился конец недеформи- рованной пружины, которого коснулся шарик, имея скорость vД , и стал ее
сжимать. Это сжатие продолжалось до некоторой точки Е , где скорость шарика стала равной нулю. Длина участка ДЕ и будет величиной максималь- ного сжатия пружины λmax .
Поскольку на участке ДЕ известны начальная vД = 4,01м/с и конечная vE = 0 скорости шарика, а также силы, действующие на него: сила тяжести
31
P , сила трения FT , нормальная реакция N и сила упругости пружины Fy ,
то для нахождения величины сжатия (ДЕ) можно еще раз применить теорему об изменении кинетической энергии.
mv |
2 |
|
mv |
2Д |
|
|
|
|
|
|
|
Е |
- |
|
|
= å Ak |
= AP + AF |
|
+ AF |
. |
(34) |
2 |
2 |
|
y |
|||||||
|
|
|
|
|
T |
|
|
|||
Работу силы вычислим по формуле (35). |
Т.к. |
начальное положение |
||||||||
шарика (m.Д ) ниже конечного (m.E), то работа силы тяжести будет
отрицательной: |
AP = -mgh3 = -mg × DE ×sin β = -mgλmax sin β . |
|
|||
Работу силы упругости пружины вычислим по формуле. |
|
||||
|
A |
= c |
(λ2 |
- λ2 ). |
(35) |
|
Fy |
2 |
0 |
1 |
|
Начальное удлинение пружины λ0 = 0 , т.к. пружина была недефор- мирована. Конечное удлинение (в данном случае укорочение) пружины равно
ДE = λmax , т.е. |
λ1 = λmax |
и AFy |
= - |
c |
2 |
|
|
||
2 |
λmax . |
||||||||
Вычислим работу силы трения: |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||
AF |
|
Е |
|
|
λmax |
|
|
|
|
= - ò fNdx = - |
ò fmg cos βdx = - fmg cos β × λmax . |
||||||||
T |
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
Д |
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя все найденные работы сил в (34) и учитывая, что vE = 0 , |
|||||||||
получим |
|
Cλ2max |
|
+ mg (sin β + f cos β )λmax − |
mvD2 |
= 0 |
|||
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
Решая полученное квадратное уравнение относительно λmax , получим |
|||||||||
λmax = (-0.003 ± 0.090) м. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Берем для λmax положительный корень квадратного уравнения |
|||||||||
|
|
λmax = -0,003 + 0,090 = 0,087 м. |
|||||||
Ответ: Скорость шарика в точках В, С, Д будет равна: |
|||||||||
vB = 4,59 м/с, |
vC = 4,26м/c, vД = 4,01м/с. |
||||||||
Величина укорочения пружины равна λ max = 0,087 м.
32
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4.1 |
|
№ № |
m, |
vA, |
t1, |
R, |
f |
α, |
β. |
λ0. |
с |
Величины, |
|
схем |
кг |
м/c |
сек |
м |
|
гра |
град |
см |
н/см |
которые |
|
(рис. |
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
требуются |
|
2.3-2.7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дополнительно |
|
1 |
0,5 |
20 |
2,0 |
2,0 |
0,20 |
30 |
45 |
- |
- |
- |
|
2 |
0,4 |
5 |
1,0 |
1,0 |
0,10 |
30 |
- |
50 |
5 |
vB |
|
3 |
0,4 |
0 |
2,0 |
0,2 |
0,15 |
30 |
- |
10 |
1 |
v Д |
|
4 |
0,6 |
16 |
0,2 |
4,0 |
0,10 |
45 |
20 |
- |
- |
h |
|
5 |
0,1 |
8 |
1,5 |
2,0 |
0,20 |
30 |
- |
- |
- |
- |
|
6 |
0,2 |
5 |
0,5 |
1,0 |
0,10 |
45 |
- |
- |
- |
vД |
|
7 |
0,3 |
2 |
2,0 |
4,0 |
0,10 |
30 |
20 |
30 |
2 |
vД |
|
8 |
0,4 |
4 |
0,1 |
0,5 |
0,10 |
30 |
60 |
0,2 |
0,2 |
vД |
|
9 |
0,2 |
1 |
0,5 |
1,5 |
0,15 |
30 |
60 |
0 |
4 |
λmax |
|
10 |
0,2 |
6 |
1,0 |
1,0 |
0,30 |
45 |
- |
- |
3 |
vД ,λmax |
|
11 |
0,5 |
2 |
1,5 |
4,0 |
0,25 |
20 |
60 |
- |
- |
vД |
|
12 |
0,4 |
5 |
0,4 |
2,0 |
0,20 |
30 |
60 |
- |
- |
vД |
|
13 |
0,1 |
4 |
0,1 |
0,4 |
0,30 |
30 |
60 |
10 |
0,5 |
vД |
|
14 |
0,4 |
1 |
0,2 |
0,2 |
0,40 |
45 |
- |
0 |
1,1 |
vД ,λmax |
|
15 |
0,2 |
10 |
1,0 |
0,5 |
0,10 |
60 |
- |
0 |
1,2 |
λmax |
|
16 |
0,6 |
2 |
0,4 |
0,2 |
0,20 |
45 |
- |
- |
- |
- |
|
17 |
0,7 |
3 |
0,3 |
0,3 |
0,20 |
45 |
- |
- |
- |
- |
|
18 |
0,5 |
0 |
0,5 |
0,6 |
0,30 |
60 |
30 |
- |
- |
h |
|
19 |
0,1 |
0 |
0,2 |
0,5 |
0,25 |
- |
30 |
30 |
0,4 |
vД |
|
20 |
0,3 |
4 |
0,1 |
0,6 |
0,35 |
30 |
15 |
60 |
0,1 |
vД |
|
21 |
0,2 |
2 |
0,1 |
0,2 |
0,20 |
30 |
- |
- |
- |
vД |
|
22 |
0,5 |
0 |
0,2 |
0,5 |
0,20 |
45 |
30 |
50 |
0,8 |
vД |
|
23 |
0,8 |
3 |
0,2 |
0,4 |
0,15 |
45 |
- |
- |
- |
vД |
|
24 |
0,8 |
5 |
0,3 |
0,6 |
0,15 |
30 |
- |
- |
- |
tDЕ |
|
25 |
0,3 |
0 |
0,1 |
1,0 |
0,10 |
30 |
60 |
50 |
10 |
vД |
|
26 |
0,4 |
2 |
0,2 |
2,0 |
0,40 |
30 |
- |
- |
- |
vД |
|
27 |
0,6 |
0 |
2,0 |
3,0 |
0,20 |
60 |
30 |
- |
- |
S |
|
28 |
0,2 |
0 |
0,1 |
1,0 |
0,20 |
30 |
- |
40 |
1,0 |
vД |
|
29 |
0,1 |
1 |
0,1 |
1,0 |
0,15 |
60 |
20 |
50 |
0,2 |
vД |
|
30 |
0,3 |
3 |
0,4 |
1,5 |
0,10 |
45 |
- |
- |
- |
- |
|
33
Рис.4.3
34
Рис.4.4
35
Рис.4.5
36
Рис.4.6
37
Рис.4.7
38
ЛИТЕРАТУРА
1.Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. М.: Высшая школа, 2004, - 416c.
2.Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики.
Ч.1. - М. : Высшая школа, 1984, - 368c.
3.Воронков И.М. Курс теоретической механики. М.: Наука, 1964, - 596c.
4.Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. Руководство к ре- шению задач по теоретической механике. М.: Высшая школа, 1968, - 420c.
5.Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т. 1. М.: Наука, 1967, - 512c.
6.Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике /Под общей редакцией проф. А.А. Яблонского. М.: Высшая школа, 1985, - 367c.
7.Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М.:
Наука, 1986, - 448c.
8.Сборник коротких задач по теоретической механике /Под ред. О.Э. Кепе. М.: Высшая школа, 1989, - 368c.
9.Шигабутдинов Ф.Г., Сагитова Н.Х. Руководство к решению задач по теоретической механике. Кинематика.- Казань: Казанская государственная архитектурно-строительная академия, 2000, - 101с.
10.Шигабутдинов Ф.Г., Шигабутдинов А.Ф. Краткий курс
теоретической механики. / |
Учебное пособие. - |
Казань: Казанская |
государственная архитектурно-строительная академия, 2001, - 123с. |
||
11. Шигабутдинов Ф.Г., |
Камалов А.З., Шигабутдинов А.Ф. Сборник |
|
задач по теоретической механике. Статика./ Учебное пособие.- Казань: Казанская государственная архитектурно-строительная академия, 2004, - 180с.
39
Шигабутдинов Феликс Галлямович Газизов Евгений Равильевич Мухутдинов Рустем Фаритович
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Задания и краткие методические указания к выполнению курсовой работы по теоретической
механике для студентов специальности 190702
Под редакцией Ф.Г. Шигабутдинова
Редактор: Н.Х. Михайлова Корректор: М.А. Рожавина
Редакционно-издательский отдел
Казанского государственного архитектурно-строительного университета
Подписано в печать 31.05.06 г. |
Формат 60 x 84 / 16 |
|
Заказ № 359. |
Печать RISO |
Усл.-печ.л.2,8 |
Тираж 500 экз. |
Бумага тип.№ 1 |
Учет.-изд.л.2,8 |
|
|
|
Печатно-множительный отдел КГАСУ.
420043, Казань, Зелёная, 1.
40