Дискретный ряд распределения по у (по выработке на 1 рабочего)

Таблица 1.3.

Центральные значения интервалов	Величина интервала	Абсолютные частоты	Относительные частоты %		Плотность распределения
5234	i=224,8	1	9,09		0,04
5458,8		0	0		0
5683,6		1	9,09		0,04
5908,4		1	9,09		0,04
6133,2		2	18,18		0,08
6358		1	9,09		0,04
6582,8		2	18,18		0,08
6807,6		2	18,18		0,08
7032,4		0	0		0
7257,2		0	0		0
7482		1	9,09		0,04
Итого n=11				100 %

Плотность распределения определяется по формуле:

ρ=

Таким образом, ряд распределения по выработке на 1 рабочего показывает, что наиболее характерным является группа с центральным значением интервала 6133,2, 6582,8, 6807,6 тыс. руб., так как они составляют 18,18 % от всего количества выработки на 1 рабочего.

Дискретный ряд распределения по х (по уровню сборности)

Таблица 1.4.

Центральные значения интервалов	Величина интервала	Абсолютные частоты	Относительные частоты	Плотность распределения
54,6	i=1,46	2	18,18	12,45
56,06		1	9,09	6,23
57,52		3	27,27	18,68
58,98		1	9,09	6,23
60,44		0	9,09	6,23
61,9		0	0	0
63,36		1	9,09	6,23
64,82		0	0	0
66,28		1	9,09	6,23
67,74		1	9,09	6,23
69,2		1	9,09	6,23
Итого:		n=11	100%

Таким образом, ряд распределения по уровню сборности показывает, что наиболее характерным является группа центральным значением интервала 57,52% , так как она составляет по 27,27 %.

2. Построение корреляционной таблицы

Для построения корреляционной таблицы на поле корреляции накладывается сетка, соответствующая интервальным рядам распределения по факторному и функциональному признакам. Затем подсчитывается число точек (частот) в каждой клетке координатной сетки.

Таблица 1.5

По выработке на 1 рабочего в год	х у	Объем работ собственными силами
		53,87-55,33	55,33-56,79	56,79-58,25	58,25-59,71	59,71-61,17	61,17-62,63	62,63-64,09	64,09-65,55	65,55-67,01	67,01-68,47	68,47-69,93	итого
	7369,6-7594,4							1					1
	7144,8-7369,6												0
	6920-7144,8												0
	6695,2-6920	1									1		2
	6470,4-6695,2	1			1								2
	6245,6-6470,4			1									1
	6020,8-6245,6			2									2
	5796-6020,8									1			1
	5571,2-5796		1										1
	5346,4-5571,2												0
	5121,6-5346,4											1	1
	итого	2	1	3	1	0	0	1	0	1	1	1	n=11

Результаты расчетов, выполненные в таблице 1.5 , позволяют сделать вывод о том, что при переходе слева направо в сторону больших значений факторного признака х соответствующие ряды распределения функционального признака у смещаются сверху вниз, т.е. в сторону меньших значений функций. Следовательно, выработка на 1 рабочего в год находится в корреляционной зависимости от уровня сборности.

3. Расчет эмпирической линии регрессии

После установления наличия корреляционной зависимости между функциональным и факторным признаками, приступаем к следующему этапу статистического моделирования - к исследованию формы связи.

Под формой корреляционной связи понимают тип аналитической формулы, выражающий зависимость между изучаемыми величинами.

Необходимо установить, какие изменяются средние значения у в связи с изменением х.

Рассчитываются средние величины для каждого ряда распределения по формуле средней взвешенной арифметической величины:

y=

где у – средневзвешенное значение функции

у – центральное значения интервалов по функции

m – абсолютные частоты вариантов у

Для сокращения вычислений при определении средней арифметической можно использовать метод отсчета от условного нуля.

Расчетная формула имеет вид

y=y_i*i_y+c_y

При этом у_i, где:

у’ – упрощенные варианты у;

у – фактические варианты у;

С_у-новое начало отсчета по оси у (условный ноль);

i_y – интервал группировки по у.

Новое начало отсчета выбирается таким образом, чтобы число наблюдений распределялось примерно поровну между положительным и отрицательным направлениями оси ординат.

В нашем примере примем условный нуль в пятом интервале по оси у, тогда с_у=6358 т. руб., а i_y=224,8 т. руб. Результаты расчетов представим в таблицу 1.6.

Таблица 1.6.

Выработка на 1 рабочего	y’	x y	Объем работ собственными силами
			54,6	56,06	57,52	58,98	60,44	61,9	63,36	64,82	66,28	67,74	69,2	итого
	5	7482							15					1
	4	7257,2												0
	3	7032,4												0
	2	6807,6	12									12		2
	1	6582,8	11			11								2
	0	6358			10									1
	-1	6133,2			2-1									2
	-2	5908,4									1-2			1
	-3	5683,6		1-3										1
	-4	5458,8												0
	-5	5234											1-5	1
	1	Итого hi	2	1	3	1	0	0	1	0	1	1	1	n=11
	2	∑miyi	3	-3	-2	1	0	0	5	0	-2	2	-5	∑y’=-1
	3	y’	1,5	-3	-0,67	1	0	0	5	0	-2	2	-5	-
	4	y	6695,2	5683,6	6207,38	6582,8	6358	6358	7482	6358	5908,4	6807,6	5234	-

Упрощенные варианты y’ умножаются на частоты соответствующих клеток корреляционной таблицы и записываются в верхних правых углах каждой клетки.

Первая итоговая строка и итоговый столбец таблицы 1.6. выражают абсолютные частоты интервальных рядов распределения по функциональному и факторному признакам.

Вторая итоговая строка характеризует сумму произведений, записанных в верхних углах клеток. Третья итоговая строка рассчитывается делением показателей второй строки на первую. В четвертой итоговой строке показаны искомые средние y_i, полученные по формуле y=y_i*i_y+c_y.

Показатели четвертой итоговой строки являются основой для графического изображения выполненных расчетов на поле корреляции.

Соединив между собой средние значения в каждом интервале отрезками прямых линий, получаем эмпирическую линию регрессии у по х, которая показывает, как в среднем изменяется у в связи с изменением х.

В нашем случае расчет эмпирической линии регрессии вновь подтвердил наличие корреляционной зависимости между выработкой на 1 рабочего и уровнем сборности.

3. Расчет теоретической линии регрессии

Теоретическая линия регрессии представляет собой такую математически правильную кривую (либо прямую) линию, которая проходит наиболее близко к точкам эмпирической линии регрессии, выражает общую закономерность средних изменений признака в связи со средними изменениями фактора.

В нашем случае характер размещения точек на корреляционном поле делает весьма вероятной гипотезу о линейной связи у от х : у = a_{0 +} a₁x.

Параметры уравнения найдем из системы по способу наименьших квадратов:

naꞌ₀ + aꞌ₁∑ xꞌ = ∑ yꞌ

aꞌ₀∑xꞌ + aꞌ₁∑( xꞌ)² = ∑ xꞌyꞌ

Исходную информацию для решения данной системы получаем из таблицы 1.7., которая основана на результатах таблицы 1.6. Примем условный нуль в пятом интервале по оси Ох, тогда С=61,9%; i = 1,46 %.

Таблица 1.7.

Выработка на 1 рабочего , т. руб.	y’	Объем работ собственными силами, т. руб.															№ столбца
		x’2	25	16	9	4	1	0	1	4	9	16		25		1		2	3	4
		x’	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4		5		li		liy’	y’2	li y’2
		y x	54,6	56,06	57,52	58,98	60,44	61,9	63,36	64,82	66,28	67,74		69,2
	5	7482							1							1		5	25	25
	4	7257,2														0		0	16	0
	3	7032,4														0		0	9	0
	2	6807,6	1									1				2		4	4	8
	1	6582,8	1			1										2		2	1	2
	0	6358			1											1		0	0	0
	-1	6133,2			2											2		-2	1	2
	-2	5908,4									1					1		-2	4	4
	-3	5683,6		1												1		-3	9	9
	-4	5458,8														0		0	16	0
	-5	5234												1		1		-5	25	25
№ столбца	1	Итого h i	2	1	3	1	0	0	1	0	1	1		1		11		-1	-	75
	2	∑h­ix’	-10	-4	-9	-2	0	0	1	0	3	4		5		∑x’ =-12
	3	∑ h­ix’2	50	16	27	4	0	0	1	0	9	16		25		∑х’2=148
	4	∑ miyi	3	-3	-2	1	0	0	5	0	-2	2		-5		∑y’ =-1
	5	∑ my’x’	-15	12	6	-2	0	0	5	0	-6	8		-25		∑ х’у’ =-17

В качестве проверки правильности данной таблицы должно соблюдаться равенство итогов четвертой строки и второго столбца. Если это условие не соблюдается, то в расчетах допущена ошибка, которая может привести к существенным искажениям величины параметров теоретической линии регрессии.

В систему уравнений, данную выше, и получим:

11*a₀’-12*a₁’= -1

-12*a₀’+148*a₁’=-17

В качестве метода решения системы принимаем метод Гаусса, который позволяет находить решение последовательно, исключая неизвестные. Для этого первое уравнение умножаем на -12, а второе на 11 и вычтем:

-1772*а₁’=-199

a₁’=0.11

Затем в первое уравнение системы подставим значение a₁’ и находим величину a₀’:

11*a₀’-12*0.11= -1

a₀’=0.03

Параметры a₀’и a₁’ необходимо преобразовать исходя из фактических значений х и у.

Формулы перевода из упрощенных в реальные координаты:

a₁=a₁’_* a₀=c_y+i_ya₀’-a₁’**c_x

где i_y- интервал группировки по функции

i_x- интервал группировки по аргументу

c_y-новое начало отсчета по функции

c_x-новое начало отсчета по аргументу

По этим формулам получаем, что a₀=5290.54, a₁= 17.79

Уравнение теоретической линии регрессии в реальных коэффициентах имеет вид y=5290.54+17.79х.

В уравнении регрессии первое слагаемой носит название свободного члена, второе слагаемое называется коэффициентом регрессии. Он показывает, на сколько натуральных единиц изменяется в среднем результативный признак при изменении факторного признака на единицу.

В нашем примере из уравнения теоретической линии регрессии видно, что выработка на 1 рабочего повышаются на 17.79 % при увеличении уровня сборности 1 %. Выработка на 1 рабочего, не зависящие от рассматриваемых фактов, равен 5290,54 тыс. руб.

Для графического изображения линии регрессии, рассчитанной по линейной гипотезе, достаточно определить две точки, через которые можно провести прямую.

В нашем примере по х₁=60 и х₂=70,у₁=6357,94 и у₂=6535,84 проводим на поле корреляции прямую линию.

Вывод: Графическое изображение теоретической линии регрессии в виде уравнения прямой еще раз подтверждает наличие корреляционной связи между изучаемыми признаками.

3. Измерение тесноты связи

Коэффициент корреляции r_y/x является одним из наиболее совершенных методов измерения тесноты связи. Коэффициент корреляции отвечает на вопрос, в какой мере соблюдается строгая пропорциональность в изменениях функционального и факториального признаков.

Коэффициент корреляции может принимать как положительные, так и отрицательные значения, т.е. -1≤r≤1.

При выполнении корреляционных расчетов, когда связь между признаками х и у выражается прямой линией, соблюдается условие, при котором знак при коэффициенте корреляции r_y/x должен совпадать со знаком при коэффициенте регрессии а₁.

Для расчета коэффициента корреляции существует формула, представленная в упрощенных координатах признаков х и у.

r_y/x=

В нашем случае исходную информацию для нахождения r_y/x принимаем из таблицы 1.7.

r_y/x== 0,16

Вывод: выполненные расчеты показывают, что между выработкой на 1 рабочего и уровнем сборности существует положительная корреляция, которая говорит о том, что с увеличением факторного признака х функциональный признак у увеличивается.

Знак при коэффициенте корреляции совпадает со знаком регрессии а₁, что свидетельствует о правильности произведенных вычислений. Имеем слабую связь между изучаемыми явлениями.

3. Проверка правильности гипотезы о прямолинейной форме корреляционной связи.

Таблица 1.9.

№	х	х-х	(х-х)2	у	ŷ	у-ŷ	(у-ŷ)2	у2
1	55,3	-5,09	25,91	5234	5365,63	-129,63	16803,94	27394756
2	56,9	-3,49	12,18	5458,8	6302,8	-844	712336	29798497,44
3	57	-3,39	11,49	5683,6	6304,57	-620,97	385603,74	32303308,96
4	59,6	-0,79	0,62	5908,4	6350,82	-442,42	195735,46	34909190,56
5	63,4	3,01	9,06	6133,2	6418,43	-285,23	81356,15	37616142,24
6	69,2	8,81	77,62	6358	6521,61	-163,61	26768,23	40424164
7	56,2	-4,19	14,56	6582,8	6290,34	292,46	85532,85	43333255,84
8	54,6	-5,79	33,52	6807,6	6261,87	545,73	297821,23	46344417,76
9	57,8	-2,59	6,71	7032,4	6318,8	713,6	509224,96	49454649,76
10	66,3	5,91	34,93	7257,2	6470,02	787,18	619652,35	52666951,84
11	68	7,61	57,91	7482	6500,26	981,74	963813,43	55980324
Итого	664,3	-	284,51	699338	69105,15	-	3894648,34	450225658,4

Расчеты при заполнении таблицы:

===60,39

Первой основной задачей, которую решает теория корреляции, является задача измерения связи. Систематизация статистического материала по двум качественным признакам производится графически путем построения поля корреляции.

Итоговая сумма частот по горизонтальным линиям поля корреляции должна соответствовать абсолютным частотам дискретного ряда распределения факторного признака, а итоговая сумма частот по вертикальным линиям поля корреляции- абсолютным частотам дискретного ряда распределения факторного признака. Общая сумма абсолютных частот точек по всем горизонтальным линиям должна быть равна сумме частот (точек) по всем вертикальным линиям поля корреляции и соответствовать числу единиц статистической совокупности, принятой для исследования

Прежде чем использовать уравнение теоретической линии в последующем анализе, необходима проверка ее параметров (а₁,а₀) на типичность. Для проверки типичности параметров уравнения регрессии используется t- критерий Стьюдента. При этом вычисляются фактические значения для параметра а₀:

t _а0=⃓a₀⃓

Для параметра а₁:

t_a1= ⃓a₀⃓, где :

σост=- среднее квадратическое отклонение результативного признака у от выровненных значений ŷ

σ_х=-среднее квадратическое отклонение факторного признака х от общей средней х. вычисленные по формуламt _а0 и t_a1 сравнивают с критическим t, которое определяют по таблице Стьюдента с учетом принятого уровня значимости α и числом степеней свободы вариации k =п-2. В нашем случае α=0,1. Параметр признается значимым (существенным) при условии, что если t_расч.>t_знач.

По таблице распределения Стьюдента для k=9 и уровня значимости α=0,1 находим критическое значение t_к=4,781.

Так как ta0> tк< ta1 (0,04< 3.69 >0,004), следовательно параметры a1 и а0 не признаются значимыми.

Для оценки значимости коэффициента корреляции r используют t – критерий Стьюдента. При линейной однофакторной связи t – критерий рассчитывается по формуле:

t= r*=0,16*=0,053

Получили, что t> tк (0,053 < 3,690), что свидетельствует о не значимости коэффициента корреляции и существенной связи между выработкой на 1 рабочего и уровнем сборности.

После того, как установлена форма связи и измерена теснота значимости между результативным и факторным признаками, делается проверка правильности принятой гипотезы о прямолинейной форме корреляционной связи. Проверка производится при сравнении двух показателей тесноты связи: эмпирического корреляционного отношения и линейного коэффициента корреляцииr. При этом оба показателя возводятся в квадрат и называются коэффициентами детерминации. Осуществим эту проверку применительно к нашему примеру, для которого = 0,76(вычисляется в разделе 2) иr = 0,16^2=0,026.

Разница между ними составляет -0,76+0,026 = -0,73<0,1 . Полученная разница меньше, чем 0,1, следовательно, дальнейшие расчеты не ведутся.

7. Построение исходной, теоретической и эмпирической линии регрессии