Решение

L

L

s

s

L

z

z

III

q

s

y

I

x

x

y

x

II

D

z

y

Рис.3 Рис.4

Примечание: Чтобы не находить реакции опор в заделке, будем в дальнейшем рассматривать равновесие правых отсеченных частей. С каждым участком свяжем правую систему координат X_iY_iZ_i, где ось Z_i направлена вдоль оси стержня. Начало координат выбираем в т.А (рис.3). На остальных участках направление осей получается путем поворота предыдущей системы координат вокруг оси У так, чтобы ось Z_i совпала с осью i-го участка (рис.4). За первый участок можно принять любой отрезок ломаного стержня, однако для удобства возьмем правый участок ВС, как простейший. Используя метод сечений из уравнений равновесия для правой отсеченной части, получим выражения ВСФ для каждого участка. Для удобства записи аналитических выражений ВСФ примем s_i за координату произвольного сечения на i–ом участке.

Внимание. Эпюры ВСФ от отдельно взятой силы должны лежать в плоскости действия этой силы.

1. Построение эпюр ВСФ

Запишем аналитические выражения для ВСФ по участкам.

Используем сокращенную запись уравнения равновесия вместо и,в дальнейшем будем использовать

и.

Первый участок (ВС) 0  s₁  L = 2 м

y1

Вычислим значения на концах участка:

При s₁ = 0 при s₁ = L = 2м

Второй участок (ВD) 0  s₂  L = 2 м

Qy Nz Мz Мy s2 Qx Мx F y2

При s₂ = 0 при s₂ = L = 2м

Третий участок (АВ) 0  s₃  L = 2 м

Q_y

s₃

М_z

Q_x

N_z

М_x

М_y

z₃

F

y₃

F

x₃

При s₃ = 0 при s₃ = L = 2м

Построим эпюры ВСФ (рис.5).

При построении эпюр ВСФ положительные значения перерезывающих сил (Q_x,Q_y) и изгибающих моментов (M_x,M_y) откладываются вдоль положительных направлений соответствующих осей. Это соответствует правилу, что изгибающие моменты строятся со стороны растянутых волокон в плоскости действия момента. Эпюры продольных усилий N_z и крутящего момента M_z строятся в произвольной плоскости (например, в плоскости XOZ) с указанием знака.

Исходная расчетная схема Эпюра Q_x кН

L

L

L

1

1

q

A

B

C

F

F

D

Эпюра Q_у кН Эпюра M_x кНм

Эпюра M_y кНм Эпюра M_z кНм

2

4

Рис.5

2. Тип сложного сопротивления по участкам

	1 участок ВС	2 участок ВD	3 участок АВ
Вид сложного сопротивления	Mx  0 My  0 Косой изгиб	Mx  0 Плоский изгиб	Mx  0 My  0 Mz  0 Косой изгиб + кручение
Опасное сечение Расчетные значения ВСФ	Точка В Mx = 4 кНм My =  2 кНм	Точка В Mx = 2 кНм	Точка А Mx = 14 кНм My =  4 кНм Mz = 2 кНм

Примечание: Если M_x , M_y , N_z 0, то на участке косой изгиб с растяжением или сжатием, если M_x , M_y , M_z , N_z 0, то общий случай деформированного состояния.

3. Подбор двутаврового и прямоугольного сечения на участке вс, который испытывает косой изгиб.

Расчетные значения:

M_x = 4 кНм = - 400 кНcм, M_y =  2 кНм = -200 кНcм.

Поскольку | M_x | > | M_y |, то располагаем сечение вертикально.

b

Примечание: Если | M_x | < | M_y |, то  горизонтально. В этом случае в расчетах индексы х и у поменяются местами.

h

х

х

у

у

Для прямоугольника .

а) Подберем двутавр

М К1 Му Мх  х К2 у нл Рис.6

Условие прочности: Известно, что . Примем ,, тогда из условия прочности:

см³.

Ближайшее значение к W_x имеет двутавр № 18а: W_x = 159 см³, W_у = 22,8 см³.

Примечание: поскольку отношение приблизительно, то необходима проверка.

Проверка: .

. Недогрузка  велика.

Проверим двутавр № 18: W_x = 143 см³, W_у = 18,4 см³.

. Недогрузка  = 14,6%.

Проверим двутавр № 16: W_x = 109 см³, W_у = 14,5 см³.

.

Перегрузка  = 9,98 % > 5%. Перегрузка  больше 5 % недопустима.

Окончательно принимаем двутавр №18, А_дв = 23,4 см², J_x = 1290 см⁴, J_y = 82,6 см⁴.

Примечание: Положение нейтральной линии (нл) определяется из условия , то есть. В случае косого изгибанл проходит через центр тяжести сечения. Угол наклона НЛ к оси ОХ:

.

Удобно для определения положения нейтральной линии использовать векторное изображение моментов, так как нейтральная линия расположена между результирующим вектормоментом и осью с наименьшим моментом инерции.

Максимальные напряжения возникают в точках К₁ и К₂, наиболее удаленных от НЛ (рис.6).

б) Подберем размеры прямоугольного сечения h/b = 2, h = 2b.

b нл  h М Му x Мх y

Условие прочности: . Для прямоугольного сечения: , .

,

см³, см,

h = 2b = 8,44 см, А_прям = bh = 35,5 см².

см⁴, см⁴,

.

Сравним площади подобранных сечений А_дв= 23.4 см²; А_прям= 35.5см²

.

Вывод: Двутавровое сечение экономичнее, чем прямоугольное.

4. Подбор круглого и кольцевого сечений на участке АВ (косой изгиб + кручение).

Расчетные значения M_x = 14 кНм, M_y =  4 кНм, M_z = 2 кНм.

а) Подберем диаметр вала.

нл Му М x Мх D y

Условие прочности: .

Эквивалентный момент определяем по 4ой теории прочности:

кНм= 1466кНсм

Для круглого сечения: см³.

см = 97,7 мм

После округления d = 100 мм, А_вала = см².

б) Подберем размер кольцевого сечения .

x d D y

Из условия прочности: см3.

Для кольца , где

;

см;

см.

Площадь кольца: А_кольца = см².

Сравним площади подобранных сечений:

.

Вывод: Кольцевое сечение экономичнее, чем круглое.