2. Метод Гаусса.

Матрица , получающаяся изА приписыванием столбца свободных членов, называется расширенной матрицей.

Основная идея метода Гаусса заключается в том, что расширенная матрица системы уравнений (3.1) путем элементарных преобразований над строками приводится кступенчатой форме, когда все элементы ниже главной диагонали обращены в нуль.

(3.3)

По полученной матрице выписывается система, которая, очевидно, будет эквивалентна исходной.

Если в матрице (3.3) получилась строка с единственным ненулевым элементом – , то система несовместна, так как этой строке соответствует уравнение , не имеющее решений. В противном случае возможны два варианта:

1) r = n и нижняя ненулевая строка матрицы (3.3) определяет уравнение: . Так как, то имеем решение. Подставим его в вышестоящее уравнение и получим уравнение с одной неизвестной, решим его и перейдем к следующему уравнению и т.д. В результате получим единственное решение системы: (х₁, х₂ , х₃ , . . . , х_n ).

2) r < n и нижняя ненулевая строка дает уравнение с несколькими неизвестными: . Назовемпараметрами и выразим через них сначала, а затем остальные переменные. Получаем бесконечное множество решений системы.

Примеры решения задач

1. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Вычислим определитель матрицы системы:

.

Так как , то система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера. Вычисляем

,

,

.

По формулам (3.2) находим решение системы:

.

2. Решить систему методом Гаусса:

Решение: Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду (3.3):

~~.

Получили ступенчатую матрицу. Выпишем по полученной матрице систему, которая будет эквивалентна исходной: Эта система совместна и имеет бесконечно много решений. Из второго уравнения находим: . Из первого уравнения находим. Таким образом, решение системы будут составлять два равенства:.

Задачи для самостоятельного решения

Решить системы методом Крамера:

1. 2.3.

4. 5.

6. Решить систему методом Гаусса:

7. Исследовать систему линейных уравнений. Если система совместна, то найти общее и одно ее частное решение:

Решить системы методом Крамера:

8. 9.10.

11. 12.

13. Решить систему методом Гаусса:

14. Исследовать систему линейных уравнений. Если система совместна, то найти общее и одно ее частное решение:

Ответы:

1) ; 2) ;3) ; 4) ;5) ;6) ;7) система несовместна; 8) ;9) ;10) ;11) ;12) ;13) ;14) система совместна и определенна, о.р. = ч.р.: (2; 3; 5).

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 4

Векторная алгебра. Вычисление координат, модуля и направляющих косинусов вектора

1. Векторная алгебра.

Вектором на плоскости и в пространстве называется направленный отрезок.

Помимо обозначения , гдеА начало вектора, а В – его конец, будем использовать также малые латинские буквы, выделенные жирным шрифтом: а, b, c, … .

Длиной вектора называется расстояние между началом и концом вектора. Длину вектора называют еще модулем вектора и обозначают .

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Назовем два вектора равными, если они коллинеарны, имеют одинаковые длины и одинаковые направления.

Если известны координаты точек и, то координаты вектораа = вычисляются по формулам:

(4.1а)

Формулы для вычисления длины вектора а, а также расстояния между точками и :

(4.2а)

Декартовы координаты на плоскости определяются аналогично, с той разницей, что там отсутствует ось аппликат и, соответственно, третья координата. Таким образом, если а =и, то, очевидно,

(4.1б)

(4.2б)

Обозначим ,  и  – углы наклона вектора а к координатным осям Ох, Оу и Оz, соответственно. Три числа cos, cos и cos называются направляющими косинусами вектора а.

Справедливы равенства:

(4.3)

Формулы для вычисления направляющих косинусов:

(4.4)

Если равенства (4.4) возвести в квадрат и сложить, то получим:

(4.5)

Приведем еще условие коллинеарности двух векторов:

(4.6)

Таким образом, два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.