4.3 Основные свойства определителя.

Свойство 1.Определитель не меняется при транспонировании, т.е..

Доказательство.Сравним формулы

и

.

Произведения определителяиопределителяодинаковые и имеют один и тот же знак, так как знак первого произведения зависит от числа инверсий перестановкииндексов столбцов, а знак второго произведения зависит от числа инверсий той же перестановки, но индексов строк.

Из свойства 1 вытекает, что строки и столбцы равноправны, т.е. всякое утверждение относительно строк определителя верно и для его столбцов, и наоборот. Поэтому в дальнейшем будем формулировать и доказывать свойства определителя только для его строк. Аналогичные свойства определителя для столбцов также будут выполняться.

Свойство 2.Определитель, содержащий строку (столбец), состоящую из нулей, равен нулю.

Доказательство.Это следует из того, что каждый член определителя будет иметь множитель нуль из этой строки.

Свойство 3.При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

Доказательство.Действительно, пусть дан определитель

.

Поменяем в нем строки с номерами и, получим новый определитель

.

Из формул видно, что произвольному члену определителя

.

соответствует перестановка , а произвольному члену определителя

соответствует перестановка . Эти перестановки отличаются друг от друга одной транспозицией, поэтому их четность разная. Следовательно, члены определителейиразличаются лишь знаком и.

Свойство 4.Определитель, имеющий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.

Доказательство. Это свойство следует из свойства 3. Пустьi-я строка равнаj-ой строке. Если поменять эти строки местами, то знак определителя изменится на противоположный. При этом сам определитель не изменится (строки одинаковые). Следовательно,, а это возможно только если.

Свойство 5.Если элементы некоторой строки (столбца) определителя имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

Доказательство.Пусть

,

рассмотрим определитель

следовательно .

Свойство 6. Если определитель имеет две пропорциональные строки, то он равен нулю.

Доказательство.Пустьi-я строка пропорциональнаj-ой строке определителя, т.е., тогда

,

так как в этом равенстве последний определитель содержит две одинаковые строки.

Свойство 7.Если все элементыi-й строки (столбца) определителя представлены в виде суммы двух слагаемых:,, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кромеi-й строки, такие же, как в заданном определителе, аi-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов, а в другом – из элементов.

Доказательство.Действительно, так как, то

Свойство 8.Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк (столбца) прибавляются соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Доказательство.Пусть в определителе к элементамi-й строки прибавлены соответствующие элементыj-ой строки, умноженные на число. Получим определитель, т.е.

4.4. Миноры и алгебраические дополнения.

Рассмотрим определитель п-го порядка

.

Выделим в нем произвольно kстрок иkстолбцов, где. Определительk-го порядка, составленный из элементов, стоящих на пересечениях выделенных строк и столбцов, называютминором k-го порядкаопределителяи обозначаютМ.

Если в определители вычеркнуть строки и столбцы на пересечении которых стоит минор М, то останется минор-го порядка, который называетсядополнительным миноромдля минораМ и обозначается.

Очевидно, что если минор является дополнительным к миноруМ,то и , наоборот, минорМявляется дополнительным к минору.

Определение 1.Если минорk-го порядкаМ расположен в строках с номерамии в столбцах с номерами, то назовемалгебраическим дополнениемминораМчисло, где.

Утверждение.Произведение любого минораМk-го порядка на его алгебраическое дополнениепредставляет собой суммуразличных членов определителяс теми же знаками, с какими они входят в определитель.

Доказательство. Докажем это утверждение для частного случая, когда минорМрасположен в верхнем левом углу определителя:

,

т.е. в строках и столбцах с номерами . Тогда дополнительный минорбудет расположен в правом нижнем углу определителя, т.е. в строках и столбцах с номерами. Алгебраическое дополнениев этом случае совпадает с дополнительным минором, так как число

является четным, т.е. .

Так как произвольные члены миноров Миимеют вид соответственно

с перестановкой и

с перестановкой , то произведениебудет состоять из элементов

. (*)

Эти элементы являются членами определителя , так как сомножители взяты из разных строк и разных столбцов этого определителя и их количество равноп. Кроме того, числосовпадает с числом инверсий в перестановкев силу того, что все, а всеи никакой символне может образовать инверсию ни с каким символом. Число членов вида (*) равноЭтим доказана теорема в рассмотренном частном случае.