Раздел 5. Системы линейных уравнений.
5.1. Матричная запись линейной системы.
Определение. Системой линейных алгебраических уравнений,содержащейmуравнений и пнеизвестных , называется выражение следующего вида:
(1)
где - неизвестные,- коэффициент изi-го уравнения при неизвестном,‑ свободный членi-го уравнения.
Введем обозначения:
- матрица, составленная из коэффициентов системы;
- столбец неизвестных,- столбец свободных членов.
Используя введенные обозначения и правила действия над матрицами, систему (1) можно записать в матричной форме
. (2)
Определение.Совокупность чиселназываетсярешением системы(1), если после подстановки в каждое из уравнений (1) вместо неизвестныхсоответствующих чисел, это уравнение превращается в верное равенство.
Определение.Система(1) называетсясовместной,если она имеет хотя бы одно решение, инесовместнойв противном случае.
Мы начнем с исследования частного случая системы (1), когда , т.е. число уравнений равно числу неизвестных, и при этом матрицаАсистемы невырожденная.
5.2. Решение линейной системы с помощью обратной матрицы.
Рассмотрим частный случай, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных.
(1)
или
. (2)
В этом случае и матрица системы
- квадратная.
Покажем, что решение системы (1) сводится к решению матричного уравнения (2).
Действительно, связь между системой (1) и уравнением (2) заключается в том, что совокупность чисел является решением данной системы тогда и только тогда, когда
есть решение уравнения (2). Это утверждение означает выполнение равенства
или
.
Последнее равенство, как равенство матриц, равносильно системе равенств
которая означает, что - решение системы (1).
Итак, решение системы (1) сводится к решению уравнения (2).
Так как , то существует обратная матрица. Умножим обе части матричного уравнения (2) наслева, получим:. Отсюда, так как, находим
. (3)
Следовательно, если уравнение (2) имеет решение, то оно задается формулой (3). С другой стороны, подставив в (2) получим
,
поэтому (3) является единственным решением уравнения (2).
Пример.Записать в матричной форме и решить систему при помощи обратной матрицы
.
Решение.Запишем систему в матричной форме:. Здесь
,,.
Имеем:
.
Следовательно, существует обратная матрица . Найдем ее:
Наконец,
,
откуда .
5.3. Правило Крамера.
Пусть дана система плинейных уравнений спнеизвестными
(1)
или
(2)
с действительными или комплексными коэффициентами.
Введем обозначения:
,
где - определитель системы, аполучается заменой элементовi–го столбца вна столбец из свободных членов.
Теорема (правило Крамера).Если определитель линейной системы (1) отличен от нуля, то система имеет и притом единственное решение, которое определяется по формулам:
. (3)
Доказательство.
Было доказано, что решение системы (1) сводится к решению матричного уравнения (2) и так как , то существует единственное решение уравнения (2), которое определяется формулой
. (4)
Напомним, что
,
где - алгебраическое дополнение элементаматрицыА, тогда
.
Раскрывая определитель поi-му столбцу, получим,, следовательно,
откуда .
Пример.Записать в матричной форме и решить систему при помощи правила Крамера
.
Решение.Запишем систему в матричной форме:. Здесь
,,.
Имеем:
.
Найдем
,,
Наконец,
,,
откуда .