65

Раздел 6. Элементы векторной алгебры

6.1. Векторы и скаляры

Определение 1. Величина, полностью характеризуемая своим числовым значением в выбранной системе единиц, называетсяскаляромилискалярной.

Например, масса тела, его объем, температура среды и т.д.

Определение 2.Величина, кроме числового значения характеризуемая ещё направлением, называетсявекторнойиливектором.

Например, сила, перемещение, скорость.

Геометрически вектор изображается направленным отрезком (рис.1), при этом используются обозначения: , где‑ начало отрезка, а‑ конец.

Определение 3. Подмодулем(длиной) векторапонимается его численное значение без учета направления. Обозначается.

Вектор ,называетсянулевым. Направление нулевого вектора произвольно.

Определение 4. Два вектораиравны, если

‑ они расположены на параллельных или совпадающих прямых;

‑ имеют одинаковую длину;

‑ имеют одинаковое направление.

Примечание. Условимся не различать равные векторы. Т.е. допускаем, что вектор можно переносить в любую точку пространства, при условии сохранения длины и направления. Таким образом, приходим к понятиюсвободного вектора.

В дальнейшем будем излагать теорию свободных векторов в трёхмерном пространстве.

6.2. Линейные операции над векторами

Определение 1. Суммойнескольких векторов, например,, называется вектор

по величине и направлению равный замыкающей пространственной ломаной линии, построенной на данных векторах (рис.2).

I.Для двух векторовиих суммойявляется диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах (рис.3).

Так как в треугольнике длина одной стороны не превышает суммы длин других, то

.

II.Для трех векторових суммойявляется диагональпараллелепипеда, построенного на этих векторах (рис.4).

Свойства сложения.

1.(коммутативность).

2.(ассоциативность).

3.Для каждогосуществует противоположный вектор, имеющий ту же длину, но противоположное направление (рис.5), и выполняется равенство:.

4. .

Определение 2. Разностьювекторовиназывается такой вектор, что(рис.6).

Для разности справедливо равенство: .

Определение 3.Произведением вектора на скаляр называется вектор

,

имеющий длину или, направление которого:

1. совпадает с направлением вектора , если;

2. противоположно ему, если ;

3. произвольно, если .

Свойства умножения.

Если ,‑ скаляры,,‑ векторы, то

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) .

Определение 4.Если ненулевой векторразделить на его длину, то получим

единичный вектор того же направления:.

Вектор называетсяортом.

Итак, каждый ненулевой вектор можно представить в виде: . Для нулевого вектора:, где‑ произвольный орт.

6.3. Коллинеарные векторы

Определение.Два вектораиназываютсяколлинеарными, если они расположены или на параллельных прямых, или на одной и той же прямой.

Так как направление нулевого вектора произвольно, то он коллинеарен любому вектору.

Теорема.Два ненулевых вектораиколлинеарны тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е..

Доказательство.Необходимость. Пустьиколлинеарны,,. Тогдаи. Следовательно,и. Так какиколлинеарны, тои. Обозначим, тогда.

Достаточность. Пусть выполнено равенство, тогда из определения умножения вектора на скаляр следует, что направление вектораили совпадает с направлением, или ему противоположно, а это значит, чтоилежат на одной прямой, поэтому коллинеарные.□