Л-6 Определители
.doc
Лекция 6
4.6 Определитель произведения двух квадратных матриц.
Произведение двух квадратных матриц n-го порядка всегда определено. При этом важное значение имеет следующая теорема.
Теорема. Определитель матрицы-произведения равен произведению определителей матриц сомножителей:
Доказательство. Пусть
и ,
тогда
.
Составим вспомогательный определитель
.
По следствию теоремы Лапласа имеем:
.
Итак, , покажем, что . Для этого преобразуем определитель следующим образом. Сначала первые п столбцов, умноженных соответственно на , прибавим к -му столбцу. Затем первые п столбцов, умноженных соответственно на , прибавим к -му столбцу и т.д. На последнем шаге к -му столбцу будут прибавлены первые п столбцов, умноженных соответственно на . В результате получим определитель
.
Разлагая полученный определитель с помощью теоремы Лапласа по последним п столбцам, находим:
Итак, доказаны равенства и , из которых следует, что .
4.7.Обратная матрица
Определение 1. Пусть дана квадратная матрица А п-го порядка. Квадратную матрицу того же порядка называют обратной к матрице А, если , где Е-единичная матрица п-го порядка.
Утверждение. Если существует матрица, обратная к матрице А, то такая матрица единственная.
Доказательство. Допустим, что матрица является не единственной матрицей, обратной к матрице А. Возьмем другую обратную матрицу В. Тогда выполняются условия
, .
Рассмотрим произведение . Для него имеют место равенства
,
,
из которых вытекает, что . Тем самым единственность обратной матрицы доказана.
При доказательстве теоремы о существовании обратной матрицы нам потребуется понятие «присоединенная матрица».
Определение 2. Пусть дана матрица
.
Матрица
элементами которой являются алгебраические дополнения элементов матрицы А , называется присоединенной матрицей к матрице А.
Обратим внимание на то, что для построения присоединенной матрицы С элементы матрицы А нужно заменить их алгебраическими дополнениями, а затем полученную матрицу транспонировать.
Определение 3. Квадратная матрица А называется невырожденной, если .
Теорема. Для того чтобы матрица А имела обратную матрицу , необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной. При этом матрица определяется формулой
, (1)
где - алгебраические дополнения элементов матрицы А.
Доказательство. Пусть матрица А имеет обратную матрицу . Тогда выполняются условия , из которых следует . Из последнего равенства получаем, что определители и . Эти определители связаны соотношением . Матрицы А и невырожденные, поскольку их определители отличны от нуля.
Пусть теперь матрица А невырожденная. Докажем, что матрица А имеет обратную матрицу и она определяется формулой (1). Дя этого рассмотрим произведение
матрицы А и присоединенной к ней матрицы С.
По правилу умножения матриц элемент произведения матриц А и С имеет вид: . Так как сумма произведений элементов i-й строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов j-й строки равна нулю при и определителю при . Следовательно,
Поэтому
где Е – единичная матрица п-го порядка. Аналогично доказывается равенство . Таким образом, , а это означает, что и матрица является обратной к матрице А. Следовательно, невырожденная матрица А имеет обратную матрицу, которая определяется формулой (1).
Следствие 1. Определители матриц А и связаны соотношением .
Следствие 2. Основное свойство присоединенной матрицы С к матрице А выражается
равенствами .
Следствие 3. Определитель невырожденной матрицы А и присоединенной к ней матрицы
С связаны равенством .
Следствие 3 вытекает из равенства и свойства определителей, согласно которому при умножении на п-ю степень этого числа. В данном случае
,
откуда следует, что .
Пример. Найти матрицу, обратную к матрице А:
.
Решение. Определитель матрицы
отличен от нуля. Поэтому матрица А имеет обратную. Чтобы ее найти, сначала вычислим алгебраические дополнения:
, , ,
, , ,
, .
Теперь по формуле (1) запишем обратную матрицу
.
4.8. Элементарные преобразования над матрицами. Алгоритм Гаусса.
Определение 1. Под элементарными преобразованиями над матрицей размера
понимают следующие действия.
-
Умножение любой строки (столбца) матрицы на любое ненулевое число.
-
Прибавление к любой i-й строке матрицы любой ее j-й строки, умноженной на произвольное число.
-
Прибавление к любому i-му столбцу матрицы любого ее j-го столбца, умноженного на произвольное число.
-
Перестановка строк (столбцов) матрицы.
Определение 2. Матрицы А и В будем называть эквивалентными, если одна из них может быть преобразована в другую с помощью элементарных преобразований. Будем писать .
Эквивалентность матриц обладает следующими свойствами:
-
рефлективностью, т.е. ;
-
симметричностью, т.е. , то ;
-
транзитивностью, т.е. , , то .
Определение 3. Ступенчатой называется матрица А обладающая следующими свойствами:
1) если i-я строка нулевая, т.е. состоит из одних нулей, то -я строка также нулевая;
2) если первые ненулевые элементы i-й и -й строк располагаются в столбцах с номерами k и l, то .
Пример. Матрицы
и
являются ступенчатыми, а матрица
ступенчатой не является.
Покажем, как с помощью элементарных преобразований можно привести матрицу А к ступенчатому виду.
Алгоритм Гаусса. Рассмотрим матрицу А размера . Без ограничения общности можем считать, что . (Если в матрице А имеется хотя бы отличный от нуля элемент, то перестановкой между собой строк, а затем столбцов можно добиться, чтобы этот элемент попал на пересечение первой строки и первого столбца.) Прибавим ко второй строке матрицы А первую, умноженную на , к третьей строке – первую, умноженную на и т.д.
В результате получим, что
.
Элементы в последних строках определяются формулами:
, , .
Рассмотрим матрицу
.
Если все элементы матрицы равны нулю, то
и эквивалентная матрица ступенчатая. Если среди элементов матрицы хотя бы один отличен от нуля, то можно без ограничения общности можно считать, что (этого можно добиться перестановкой строк и столбцов матрицы ). Преобразуя в этом случае матрицу так же как матрицу А, получим
соответственно,
.
Здесь , , .
Продолжая эти преобразования далее, получим на k-ом шаге, что
причем , , … , . В матрице А т строк и чтобы привести ее к ступенчатому виду указанным способом, понадобится не более т шагов. Далее процесс может оборваться на k-ом шаге в том и только в том случае, если все элементы матрицы
равны нулю. В этом случае
причем , , … , .
4.9. Отыскание обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.
Для матрицы больших размеров отыскание обратной матрицы удобно проводить с помощью элементарных преобразований над матрицами. Этот метод состоит в следующем. Выписывают составную матрицу и по схеме метода Гаусса выполняют над строками этой матрицы (т.е. одновременно и в матрице А и в матрице Е) элементарные преобразования. В результате матрица А преобразуется в единичную матрицу, а матрица Е – в матрицу .
Пример. Найти матрицу, обратную к матрице
.
Решение. Запишем составную матрицу и преобразуем ее с помощью элементарных преобразований строк в соответствии с методом Гаусса. В результате получим:
.
Из этих преобразований заключаем, что
.
4.10 Ранг матрицы.
Определение. Целое число r называется рангом матрицы А, если у нее имеется минор порядка r, отличный от нуля, а все миноры порядка выше r равны нулю. Ранг матрицы будем обозначать символом .
Вычисляется ранг матрицы методом окаймления миноров.
-
Найти ненулевой элемент матрицы (если такого нет, то ранг равен нулю);
-
Вычислить миноры 2-го порядка, которые окаймляют выбранный элемент.
-
Если среди вычисленных миноров второго порядка имеется отличный от нуля, рассмотреть все миноры третьего порядка, окаймляющие какой-нибудь минор 2-го порядка, не равный нулю. Продолжая так до тех пор, пока все миноры, окаймляющие ненулевой минор k-го порядка, не будут равны нулю. В этом случае ранг матрицы .
Пример. Методом окаймляющих миноров вычислить ранг матрицы
.
Решение.
-
Находим ненулевой элемент матрицы, пусть это будет . Значит .
-
Вычисляем миноры 2-го порядка, окаймляющие выбранный элемент. , следовательно .
-
Вычислим миноры 3-го порядка, окаймляющие минор . Их всего два , , поэтому .
Указанный выше способ не всегда бывает удобным, т.к. связан с вычислением большого
количества определителей.
Утверждение. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях ее строк и столбцов.
Сформулированное утверждение указывает второй способ вычисления ранга матрицы. Он называется методом элементарных преобразований. Для отыскания ранга матрицы нужно методом Гаусса привести ее к ступенчатому виду, а затем выделить максимальный ненулевой минор. Поясним это на примере.
Пример. С помощью элементарных преобразований вычислить ранг матрицы
.
Решение. Выполним в соответствии с методом Гаусса цепочку элементарных преобразований. В результате получим цепочку эквивалентных матриц: