pr_tpr_230100

Занятие № 8. Экспериментальное определение функции полезности

Цель занятия

Ознакомиться с простой процедурой приближенного определения индивидуальной функции полезности.

Порядок выполнения работы

1.Для каждого члена бригады выбрать вид простой лотереи (определить вид и размер выигрыша).

2.Построить функцию полезности каждого члена бригады.

3.Изучить литературу: [14]: 100-102.

Теоретические сведения

Рассмотрим простую процедуру приближенного определения функции полезности некоторого индивидуума. Пусть [a, b] для любых чисел a и b означает простую лотерею с

Определение числа x1 происходит следующим образом. Предлагается 0 за отказ от участия в лотерее. Естественно, что вы участвуете в ней так, как можете выиграть 1000 в 50% случаев. Далее, вам предлагается h > 0 за отказ от участия, например, 20. Скорее всего, вы их не возьмете, так как в лотерее можно выиграть значительно больше. Далее h = 100 – возможно, вы их снова не возьмете и т.д. Очевидно, что h = 1000 вы всегда возьмете, так как лотерея предложит столько лишь в 50% случаев. Порог для данной лотереи составляет h = 500 (соответствует линейной функции полезности). Допустим, при

32

h = 400 вы взяли (получили) так называемый гарантированный доход и отказались от участия в лотерее (отказались от возможности выиграть 1000). Тогда x1 = 400 . Следовательно, вы оценили полезность u(x1 ) = 1/ 2 .

Шаг 2. Найти такое число x2 , что заведомое получение x2 эквивалентно участию в лоте-

рее [x1, 0]. Ожидаемый доход в ней составляет 1/ 2 x1 + 1/ 2 0 = x1 / 2 = 400 / 2 = 200 . Вам снова предлагают 0 за отказ от нее, и вы не соглашаетесь. Далее предлагается 0 < h ≤ 400 . Очевидно, при h = 400 вы откажетесь от нее. Пусть вы отказались при h = 150 . Тогда x2 = 150 , и его полезность вы оценили как u(x2 ) = 1/ 4 .

Шаг 3. Найти такое число x3 , что заведомое получение x3 эквивалентно участию в лоте-

рее [1000, x1 ] с ожидаемым средним выигрышем 1000 1/ 2 + x1 1/ 2 = 500 + 400 / 2 = 700 .

Вам снова предлагают 400 за отказ от участия в лотерее. Очевидно, что вы не откажетесь от участия, так как приняв участие в такой лотерее, вы получите 1000 или те же 400. Далее, вам предлагают за отказ от участия 400 < h ≤ 1000 . Пусть, вы согласились на отказ от участия при h = 600 . Тогда x3 = 600 , и его полезность вы оценили как u(x3 ) = 3 / 4 .

Шаг 4. Найти такое число x4 , что заведомо получение x4 экивалентное участию в лотерее [x3 , x2 ], т.е. [600, 150] с ожидаемым выигрышем 600 1/ 2 + 150 1/ 2 = 375 . Снова h = 150

не заставит вас отказаться от участия, а h = 600 безусловно вы возьмете и откажетесь от участия.

Очевидно, что полезность x4 составит величину u(x4 ) = 1/ 2 . Если вы выиграете x4 = 400 , то x1 = x4 , и функция полезности получилась непротиворечивой. Её приблизительная форма говорит о тенденции к вогнутости, т.е. вы избегаете риска. Если же x1 ≠ x4 , что обычно и бывает, то функция полезности противоречива, например, при x4 = 375 .

При получении противоречивой функции полезности повторяют всю процедуру необходимое число раз, пока не получают некоторое предельное значение x* = x1 = x4 , где u(x* ) = 1/ 2 .

Повторение процедуры снова начинают с лотереи [1000, 0] для которой уже найдено x1 = 375 в нашем случае, u(x1 ) = 1/ 2 и так далее.

Если обнаружится тенденция к сближению x1 и x4 , то считается, что данное лицо

демонстрирует одно и то же отношение к риску и, следовательно, значение x* будет найдено.

Если обнаружится тенденция к расхождению x1 и x4 , то, скорее всего, функцию

полезности надо определять на меньшем диапазоне или, например, разбить весь диапазон на части и по каждой из них определять всю функцию полезности.

Существуют и более усложненные процедуры. Эти процедуры основаны на тех же четырех шагах. Усложнения относятся к условию отказа от участия в лотерее. В частности, это условие может формулироваться так, что функция полезности принадлежит к семейству экспоненциальных функций. Тогда её форма определяется небольшим числом параметров, что очень удобно для дальнейшего анализа.

33

Содержание отчета

Отчет должен содержать:

-цель выполнения работы,

-описание всех необходимых этапов выполнения работы и все необходимые расчеты,

-выводы.

Контрольные вопросы

1.Что такое функция полезности?

2.Что такое непротиворечивая функция полезности?

3.Почему процедура определения функции полезности состоит из четырех шагов?

4.Почему функция полезности может оказаться противоречивой?

5.Почему процедура определения функции полезности является приближенной?

34

Литература.

1.Орлов А.И. Теория принятия решений. Учебное пособие. - М.: Март, 2004.

2.Сурмин Ю.П. Теория систем и системный анализ. МАУП 2003. 368с.

3.Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Физматлит, 2010. 560 с.

4.Антонов А.В. Системный анализ. Учебник для вузов. М.: Высшая школа. 2004. 454 с.

5.Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений. 2000. 296 с.

6.Орлов А.И. Прикладная статистика. М.: «Экзамен», 2004.

7.Павлов А.Н., Соколов Б.В. Методы обработки экспертной информации. Уч.-метод. пособие. ГУАП, СПб., 2005. 42 с.

8.Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений. М.: Логос, 2002.

9.Подиновский В.В. Введение в теорию важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений: Учебное пособие. М.: Физматлит, 2007.

10.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2003.

11.Юдин Д.Б. Вычислительные методы теории принятия решений. М.: URSS. Изд.2. 2010. 320 с.

12.Орлов А.И. Экспертные оценки. Учебное пособие. - М.: 2002. - 31 с.

13.Двоенко С.Д. Введение в системный анализ и принятие решений. Тула: ТулГУ. 2008.

14.Двоенко С.Д. Основы теории систем и системного анализа. Тула: ТулГу. 2006.

15.Ашкенази В.О. Оптимальные статистические решения (Статистические игры): Учеб- но-методическое пособие. - Тверь: Тверской гос. ун-т, 2004. - 26 с.

35