Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тульский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

дифуры дз

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

1.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

17) y 6 y 8 y

4e2x

, y(0) 0, y (0) 0.

1 e 2x

18) y 16 y

, y

3, y

2 .

sin 4x

19) y 16 y

, y(0) 3, y (0) 0.

cos 4x

20) y 2 y

4e 2x

, y(0)

ln 4, y (0) ln 4 2.

1 e 2x

21) y

ctg

, y( ) 2, y ( )

22) y 3y 2 y

, y(0) 1 3ln 3, y (0) 5ln 3.

2 e x

23) y 3y 2 y

, y(0) 0, y (0) 0.

2 ex

24) y 4 y

, y( ) 2, y ( ) .

sin 2x

25) y 4 y

, y(0)

2, y (0) 0.

cos 2x

26) y y

, y(0) ln 27, y (0) 1 ln 9.

2 ex

27) y y 2ctgx, y( ) 1, y ( ) 2.

28) y 3y 2 y

, y(0) 1 2ln 2, y (0) 3ln 2.

1 e x

29) y 3y 2 y

e x

, y(0) 0, y (0) 0.

1 e x

30) y y

, y(

) 1, y (

)

sin x

3. Линейные системы с постоянными коэффициентами

Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (однородная или неоднородная) всегда может быть проинтегрирована путем сведения ее к одному уравнению высшего порядка.

Пример 1. Найти общее решение системы

		x 2x y t



	y x y et
					x 2x y 1 . В правую часть
	Решение. Продифференцируем первое уравнение системы:				x 2x y 1 . В правую часть
полученного равенства подставим выражение для y				из	второго уравнения системы:

x 2x x y et 1 x 2x x y et			1. Выразим	y	из первого уравнения системы
				y

y 2x x t

(3.1)

Тогда для отыскания x(t) получим неоднородное уравнение

x 3x 3x 1 t et .

Корни характеристического уравнения		3	i		3	. Поэтому общее решение

1,2	2			2

соответствующего однородного уравнения имеет вид

										3
										3		t				3							3
												t				3							3
					x0 e2								C1 cos					t C2 sin							t .
					x0 e2								C1 cos			2		t C2 sin				2			t .
																2						2
Частное решение				неоднородного уравнения													ищем в				виде					x At B Cet . Используя
стандартные приемы, находим: A							1	, B 0, C 1. Итак,
стандартные приемы, находим: A						3		, B 0, C 1. Итак,
						3
											3		t
											3					3								3					1
				x(t) x0 x e2												3			t C2 sin					3					1	t et .
													C1 cos													t
													C1 cos			2							2			t			3
																2							2						3
Используя формулу (3.1), получаем
	3	t 1
	3					3								1						3							1	t 1
						3								1						3							1				t
y(t) e2			C1	3C2 cos					t						C1		3C2 sin						t								e	.
y(t) e2			C1	3C2 cos					t						C1		3C2 sin						t								e	.
		2				2								2						2							3
Изложенный метод удобен только для решения несложных систем. В общем случае для
решения линейных систем может быть использован "матричный метод".
Пусть имеется линейная система
																			y Ay													(3.2)
где A (ai, j )n n			постоянная матрица,										y col( y1 , y2 ,...,							yn ) . Обозначим											через 1, 2 ,..., n

собственные значения матрицы A .

Если все собственные значения матрицы различны, то общее решение системы (3.2) имеет вид

y(x) C e

1 x

2 x

n x

(3.3)

где e1, e2 ,..., en собственные векторы, соответствующие указанным собственным значениям.

Пример 2. Найти общее решение системы
	4 y1 y2 ;
y1	4 y1 y2 ;
y	3y	2 y		;
2	1		2
y	2 y 3y		2	4 y .
3	1		2	3

Решение. Составим характеристическое уравнение
	4			1	0
	4			1	0
det( A E)		3		2	0		0 1 1, 2	4, 3 5.
		2		3	4
Ненулевые собственные векторы			ei (i 1,2,3) ,			соответствующие найденным собственным

значениям, могут быть найдены как алгебраические дополнения элементов любой строки матрицы

A i E . Так, например, в качестве собственного				вектора,		соответствующего собственному
значению 1 1, возьмем алгебраические дополнения элементов первой строки матрицы
	3	1	0			3

A E	3	1	0			9	.
					e1
	2	3	3			7

Аналогично находим

															0								1

													2		0	,					3		1		.
											e		2		0	,			e		3		1		.
															1								5
															1								5
Поэтому, согласно формуле (3.3), общее решение системы имеет вид
y1			3			0									1											3C1e			x			C3e	5x
y1			3			0									1											3C1e						C3e
																										9C1e x C3e5x
y2		C1	9	e x	C2	0	e4x			C3					1	e5x										9C1e x C3e5x									.
y			7			1									5																	e4x	5C
y	3		7			1									5							7C e x C								2		e4x	5C	3	e5x
	3																						1							2				3

Если среди различных корней характеристического уравнения имеются комплексно-
сопряженные		1 a bi, 2 a bi ,										то		каждой								такой				паре					корней		соответствуют два
комплексных решения				y	e(a bi) x				, y				e(a bi) x							,		где				и				– комплексные собственные
								e									e
								e		2							e	2						e			e	2
				1			1			2								2							1			2

векторы. Комбинируя эти решения, легко получить два решения в вещественной форме. В качестве

Re(e

(a bi) x

Im(e

(a bi) x

таких решений можно взять y1

e1 ) ,

e1 ) .

Если среди корней характеристического уравнения имеется корень

корню соответствует решение вида

a b x d

x r 1

b2 x d 2 x r 1

y(x)

bn x d n x

r 1

Для нахождения значений неизвестных коэффициентов

a j , b j ,..., d

кратности r , то этому

(3.4)

j ( j 1,2,..., n) нужно

подставить выражение (3.4) в систему (3.2) и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях получившихся равенств. При этом следует помнить, что ровно r из отыскиваемых коэффициентов могут быть выбраны произвольно, а остальные должны быть выражены через них.

Пример 3. Найти общее решение системы

	y	y	2			y ;
1			2			3
y		y				y	2	y ;
2			1				2	3
y		y		2		y .
3				2			3
Решение. Характеристическое уравнение
					1			1
					1			1
	1	1						1	0	или (1 ) 2 0
	0				1			1
имеет корни 1 0, 2,3									1.

Простому собственному значению 1	0 соответствует собственный вектор					col(2, 1,1) и
Простому собственному значению 1	0 соответствует собственный вектор				e1	col(2, 1,1) и
решение вида
	y1		2C1

	y2		C1	.		(3.5)
			C1
	y3		C1
Решение, соответствующее двукратному корню		2,3	1,	в соответствии с формулой (3.4),

будем искать в виде

A x A

A x A A

2 1

B1x B2 B1

e .

B1x B2 e y2

D1x D2

D1x D2 D1

Получаем уравнение

A1x A2 A1
	B x B B			ex
	1	2	1
			D1
D1x D2			D1

0 1			1 A1x A2
	1	1	1		B x B		ex
					1	2
	0	1	1
	0	1	1	D1x D2

или
A1x A2 A1			(B1 D1 )x B2 D2
	B x B B		( A B D )x A B D
	1	2 1	1 1 1	2 2 2
			(B1 D1 )x B2 D2
D1x D2 D1			(B1 D1 )x B2 D2

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях																	x в левой и правой частях последнего
равенства, получим систему уравнений
A1 B1 D1
A A B D
1	2	2		2
	A1	B1 D1				B1 0, D1 A1, B2 A1, D2 A2 .
B1	A1	B1 D1				B1 0, D1 A1, B2 A1, D2 A2 .
B1 B2 A2 B2 D2
D B D
1	1	1
D1 D2 B2 D2
Считая A1 C2 , A2	C3 – произвольными постоянными, окончательно находим
		y				C		x C
				1			2						3	x
		y2						C2						e		.

		y3				C2 x C3
Складывая, наконец, последнее выражение с (3.5), получаем общее решение системы
		y 2C (C									2		x C				3	)e x ,
		1				1					2						3
		y	2	C C						2		e x ,
			2			1				2
		y	3	C (C					2		x C				3		)e x .
			3			1			2						3
		3.1 Матричная экспонента
Другой метод решения		линейных			систем			с				постоянными коэффициентами основан на

использовании в качестве фундаментальной матрицы матричной экспоненты eAx. Матрица e A определяется как сумма ряда

e A E A	A2	An
	2!	n!

Если матрица e Ax найдена, то решение системы (3.1) с начальным условием y(x0 ) y 0 имеет вид y e A(x x0 ) y0 .

Для отыскания матрицы e Ax могут быть применены различные приемы, в зависимости от структуры спектра матрицы A .

I. Если все собственные значения 1, 2 ,..., n матрицы A – действительные различные

числа, то матрицу e Ax удобно находить так:
					e Ax TeMxT 1,				(3.6)
где T (					из столбцов координат собственных векторов
где T (	e1 , e2 ,..., en ) (матрица, составленная				из столбцов координат собственных векторов
матрицы А), а
				1x	0	0		0
			e		0	0		0
		e Mx		0	e 2 x	0		0
		e Mx							.

				0	0	0	e	n x
				0	0	0	e

II. Если среди различных собственных значений матрицы А имеются комплексные, то матрица

e Ax в вещественной форме может быть найдена с помощью следующего приема: нужно найти общее решение системы (3.1) так, как это было описано выше, а потом составить матрицу, i-ым

столбцом которой будет решение этой системы, удовлетворяющее начальным условиям yi (0) 1, yk (0) 0 (i k ) .

Пример 4. Для матрицы системы из примера 2 найти e Ax .

Решение. Составим матрицу Т из столбцов координат собственных векторов матрицы А:

								3	0	1
				T			9		0	1 .

								7	1	5

Тогда
					e		x	0		0
					e			0		0
		e Ax				0 e4x						1
		e Ax	T			0 e4x				0	T	1
						0		0		e5x
						0		0		e5x

		ex 3e5 x							ex e5 x				0

	4									4
	4									4
	3ex 3e5 x								3ex e5 x
	3ex 3e5 x								3ex e5 x
													0
	4									4			0
	4									4

7ex 52e4 x 45e5 x								7ex	8e4 x 15e5 x				e	4 x

	12									12
	12									12
		7	1			найти e Ax .
Пример 5. Для матрицы A						найти e Ax .
			5
		2	5

Решение. Собственные значения матрицы A – комплексно сопряженные числа 1,2 6 i .

Собственный вектор, соответствующий 6 i
		1 i		1		1
					i
	e				i
			2	2		0
			2	2		0

Имеем:

	1
	1		1	e 6 x
Re e 6 i xe Re e 6 x (cos x i sin x)	2	i	0	e 6 x
	2		0

cos x sin x
	2cos x

	1
	1		1	e6 x
Im e 6i xe Im e6 x (cos x i sin x)	2	i	0	e6 x
	2		0

sin x cos x
	2sin x

Поэтому общее решение линейной системы (30) с заданной матрицей А имеет вид

y (x) [(C					C		2	) cos x (C			C	2	) sin x]e 6x
1		1					2			1		2		.
		(x) (2C				cos x 2C				sin x)e 6x				.
y	2	(x) (2C				cos x 2C			2	sin x)e 6x
	2			1					2
Найдем, сначала частное решение, удовлетворяющее условию y1 (0) 1, y2 (0) 0 . Оно будет
иметь вид
		y (x) (cos x sin x)e 6x
			1										.
					(x) 2 sin xe 6x								.
		y		2	(x) 2 sin xe 6x
				2
Частное решение, удовлетворяющее условиям y1 (0) 0, y2 (0) 1, имеет вид
		y (x) sin x e 6x
		1
		y	2		(x) (cos x sin x) e 6x
			2
Поэтому
						cos x sin x					sin x
		e Ax e 6x												.
								2 sin x
								2 sin x			cos x sin x

III. Если среди собственных значений матрица А имеются кратные, то следует отыскать матрицу Q , приводящую матрицу А к жордановой форме:

J		1	0	0		0	0
		1
	0		J 2	0		0	0
B Q 1 AQ	0		0	J		0	0	.
					3

	0		0	0		0
	0		0	0		0	J k
Жорданова клетка J ( ) , соответствующая корню				кратности r , имеет вид

		1		0				0

	0			1				0
J ( )									.


	0	0		0	0
	0	0		0	0
Для такой клетки легко находится
						x	2
			1	x		x


					2!

			0	1		x
e J ( ) x e x

			0	0	1


			0	0	0				0
			0	0	0				0

Проведя такие построения для каждой клетки Жордана, находим

	x	r 1
	x
	(r 1)!
	x r 2

(r 2)!
	x	r 3	.
	x

(r 3)!

		1
		1

e Bx . Тогда e Ax

(3.7)

Qe Bx Q 1 .

Пример 6. Вычислить матрицу e At		3	1
Пример 6. Вычислить матрицу e At	, если A		.
		1
		1	1

Решение.		Собственные		значения данной матрицы 1 2	2 . Так	как		ранг матрицы
	1	1				2	1		. Матрицу Q
A 2E			равен 1,	от жорданова форма матрицы А имеет вид J					. Матрицу Q
	1					0	2
	1	1				0	2

, приводящую матрицу А к жордановой форме, найдем из уравнения Q 1 AQ J AQ QJ .

Пусть Q c

. Тогда для отыскания элементов матрицы Q получим уравнение d

3 1 a	b	a	b 2		1
					.
				0
1 1 c	d	c	d	0	1

Это матричное уравнение эквивалентно системе

3a c 2a, 3b d a 2b, c a 2c, d b c 2d ,

решение которой следующее:

a 1, b 2, c 1, d 3 . Итак,

Согласно формуле (35) eJ t

e2t

. Поэтому

J t

1)e

(3.8)

1 3

(1 t)e

3.2. Формула Коши

Решение неоднородной системы с постоянными коэффициентами

y Ay f

(x) ,

(3.9)

удовлетворяющее начальному условию

y(x

) y 0 , может быть выражено через экспоненциал

матрицы системы по формуле

y(x) e A( x x0 ) y 0

e A( x s) f

(s)ds.

(3.10)

Если решение системы (3.9) записано в виде (3.10), то говорят, что оно записано в форме

Коши.

Пример 7. Найдя матрицу e At , записать решение системы

3x y t2et ;

x y e2t .

в форме Коши.

Матрица eAt для рассматриваемой системы уже была найдена в предыдущем примере, и она

имеет вид (3.8). Согласно формуле (3.10), можем записать

2(t t0 )

x(t)

(t t0

1)e

(t t0 )e

t t

2(t t0 )

y(t)

t (t s 1)e2(t s)

(t s)e2(t s)

s 2e s

2(t s)

(t s)e

(1 t s)e

ds.

Задание 12

Решить линейную систему путем сведения ее к одному уравнению высшего порядка

x 3x 2 y t

x x y

x 5x 3y te

4 y

y x y e

y 3x y e

x x y cos t

2x y e

x y tg t 1

y 2x y sin t cos t

3x 2 y

y x tgt

x 4x 2 y

x x 2 y et

x y sin t

y x cos t

y x 4 y e

y 6x

x x y et

x 4x 5 y 4t 1

x y x et

10.

11.

y x 2 y t

12.

y x

y e

y x y e

x y t

x y y e

13.

14.

y x t

2x y 2 y sin t

x 4x 6 y

3x 2 y

16.

17.

2x 3y t

y 2x y 15e

x y 2(x y)

x y t

19.

y 3x y

20.

x y x e

y cos t

22.

23.

y 1 x

y x sin t

x x y						1
x x y
						cost
15.						cost
y 2x y

	x e3t			y

18.			3t
		2e	3t		x

	y
	x 2x y cos t
21.
	y x 2 sin t
	x 5x y et

24.							2t
		y 3y x e					2t

2x y

x 2x - y

2x - 4y 4e

-2t

25.

26.

27.

y 2 y 2x 5te

y 2y - x - e

sin t

y 2x 2 y

x 2 y x

x x 2 y 16te

x 2x y 2e

e3t

28.

29.

30.

y 4 y 3x

2x 2 y

x 2 y 3e

e2t 1

Задание 13

Решить систему матричным методом

x x z y 1. y x y z

z 2x y

x 3x y z

4. y x y z

z 4x y 4z

x 2x y

.7. y x 3y z

z 2 y 3z x

x x 2 y z 2. y y x z

z x z

x 4 y 2z 3x

5. y x z

z 6x 6 y 5z

x 2x 2z y

8.y x 2z

z y 2x z

x 2x y z

3.y x 2 y z

z x y 2z

x x y z

6.y x y

z 3x z

x 4x y z

9.y x 2 y z

z x y 2z

					x 2x y z														x y 2x 2z																					x 3x 2 y z

			10.	y 3x 2 y 3z												11.		y x 2 y 2z																		12.			y 3x 4 y 3z

				z 2z x y														z 3x 3y 5z																					z 2x 4 y

					x x y z													x y 2z x																						x 2x y

			13.	y x y z												14.		y 4x y																		15.			y 2 y 4z

				z 2z y														z 2x y z																					z x z

		x 2x y z														x 4x y																					x x y z

16.	y 2x y 2z													17.	y 3x y z																	18.				y x y z

	z 2z x y														z x z																					z x y z

		x 2x y z														x 2x y z																					x 5x 2 y z

19.	y x 2 y z													20.		y x z																	21.				y 4x 5y 4z

	z x y 2z															z 2x y 2z																					z 6x 4 y 4z

			x 7x 6 y 6z														x 7x 6 y 6z																						x 13x 2 y 2z

22.														23.																						24.
22.	y 4x y 4z													23.		y 2x 3y 2z																				24.		y 6x 9 y 6z
	z 5z 4x 2 y															z 2x 2 y 3z																						z 2x 2 y 5z

																			19					2						2								x			7	x		2	y	2	z
																			19					2						2								x				x			y		z

			x 5x 4 y 4z													x					x						y z														3			3		3
			x 5x 4 y 4z																3					3						3
																			3					3						3											4			5		2
																																									4			5		2
25.	y 2x y 2z													26.		y 2x 5 y 2z																				27.		y					x		y			z
25.	y 2x y 2z													26.		y 2x 5 y 2z																				27.		y			3		x	3	y	3		z
	z 2x 3z																		2				2						11												3			3		3
																z				x						y						z						z z
																z				x						y						z						z z
																			3				3						3

																				5						2					4
	x 3x 2 y 2z																			5						2					4
																	x			3		x			3			y			3			z						x 7x y 2z
						2			5			2								3					3						3
						2			5			2
28.	y						x			y			z	29.			y		y																	30.			y 2x 5 y 2z
28.	y					3	x		3	y		3	z	29.			y		y																	30.			y 2x 5 y 2z
						3			3			3										2						2					7						z 9z
						13			2			2					z						x						y						z
						13			2			2					z						x						y						z
			z					z			x		y									3						3					3
			z					z			x		y
						3			3			3
						3			3			3

Задание 14

Найти eAt , где А – матрица линейной части системы из задачи 12 и записать решение этой системы по формуле Коши.

520111

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Абрамов П.В.	28	4	20	23	16	12	25	30	26	19	8	11	10	27
Авербах М.В.	17	22	3	29	2	23	30	1	16	24	1	22	4	28
Андронов И.А.	3	7	16	2	22	3	29	7	5	29	6	10	16	12
Деревесникова Е.Е	30	19	18	18	3	6	28	21	8	13	25	17	1	26
Долгополов И.Е.	7	20	1	20	27	10	11	28	30	23	9	6	6	21
Евсеева О.А.	5	29	14	30	19	24	15	9	4	14	28	7	20	13
Захаров А.В.	1	18	4	13	1	4	13	29	21	2	27	21	21	3
Калинкина К.А.	24	3	15	1	23	8	18	25	13	5	21	27	9	1
Корабельнков О.Н.	12	28	30	25	21	27	1	13	27	9	5	15	30	7
Кузнецова О.И.	15	14	26	28	26	29	2	12	23	12	2	5	15	23
Курилов В.Р.	23	17	24	3	5	19	5	6	11	27	10	24	26	29
Мариничев А.Е.	16	13	27	19	10	15	24	18	24	3	16	14	19	18
Мерзликин Н.А.	9	23	23	21	28	11	22	15	7	22	14	2	14	10
Морозова А.А.	18	27	10	10	17	1	16	24	22	15	24	3	17	24
Носова А.А.	27	8	11	15	13	30	17	2	20	20	30	30	22	17
Образцов С.А.	22	30	2	11	4	14	7	20	28	8	20	29	7	9
Сабинин Б.Б.	14	25	8	27	8	21	9	17	25	18	26	28	25	5
Федунов Н.В.	19	26	7	8	9	2	14	19	2	4	7	25	18	11
Шишкин И.А.	6	5	5	26	14	25	3	5	19	28	29	20	28	6
Явлюхина И.И.	13	2	17	24	25	9	12	23	18	30	4	26	27	25

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.09.20199.36 Mб40диплом итог Катя.doc
#
18.09.20192.91 Mб27Диплом.doc
#
10.05.2015417.04 Кб31диплом.docx
#
10.05.20151.06 Mб34диплом.docx
#
10.05.2015391.56 Кб408диплом.docx
#
10.05.20151.23 Mб35дифуры дз.pdf
#
22.04.2019434.18 Кб2ДКБ МЕТОДИЧКА КР.doc
#
19.09.2019228.86 Кб4Для 203-204 Д(ПС)Программа ИГА-2011-12 ПСО.doc
#
10.05.2015150.02 Кб14для бакалавров практика.doc
#
20.08.20191.33 Mб3для госов.doc
#
14.11.20181.04 Mб25для лины.doc