дифуры дз

(n)

0

F x, y, y ,..., y

называется дифференциальным уравнением

n -го порядка не разрешенным относительно старшей

производной. Если удается разрешить его относительно y(n) , то получаем

y

(n)

f

(n 1)

.

(2.1)

x, y, y ,..., y

Теорема

Коши

(существования

и

единственности

решения).

Пусть

функция

(n 1)

),

рассматриваемая как функция

n 1 переменной, непрерывна в некоторой

f (x, y, y ,..., y

области D R

n 1

(n 1)

, содержащей точку M

0 (x0 , y0 , y0

,..., y0

) , вместе со своими частными

производными

f

,

f

,...,

f

. Тогда существует интервал ( , )

и определенная на нем n раз

y

y (n 1)

y

дифференцируемая функция y(x) , удовлетворяющая уравнению (2.1) и начальным условиям

(n 1)

(x0 )

y

(n 1)

y(x0 ) y0 , y (x0 ) y0 ,..., y

0

.

(2.2)

Функция y(x) , обладающая указанными свойствами, единственна.

Определение.

Общим решением уравнения (2.1) (удовлетворяющего условиям теоремы Коши)

называется

функция

(x, C1 , C2 ,..., Cn ) , зависящая

от x

и

n

произвольных постоянных

C1 , C2 ,..., Cn , такая, что

1) для

любых

значений

произвольных

постоянных

C1 , C2 ,..., Cn

функция

y (x, C1 , C2 ,..., Cn ) есть решение уравнения (2.1);

2) существуют

единственные

значения

C 0

, C

0 ,...,C

0

такие,

что

1

2

n

y (x,C

0 ,C

0 ,...,C

0 )

есть решение уравнения (2.1), удовлетворяющее начальному условию

1

2

n

I.Решение уравнения вида y (n) f (x) сводится к n

кратному интегрированию. Общее решение

такого уравнения имеет вид

y

f (x)dxdx dx C1xn 1 C2 xn 2 Cn 1x Cn .

n

Пример. Найти решение уравнения

y x ln x , удовлетворяющее условиям

(2.3)

y(1) 1, y (1) 0,

y (1) 1.

y

x 2

ln x

x 2

C ,

2

4

1

y

x3

ln x

5x3

C x C

,

2

6

36

1

y

x 4

ln x

13

x 4 C

x 2

C

x C

.

24

288

1

2

2

3

Значения постоянных C1 , C2 , C3 найдем из условий (2.3). Для отыскания C1 , C2 , C3 получим

систему уравнений

C

1

1 C

3

,

1

4

1

4

C C

5

0 C

8

,

2

2

1

36

9

C

3

C

2

C1

13

1 C

3

17

.

2

288

32

Итак, искомое решение имеет вид y

x 4

ln x

13

x 4

3x 2

8

x

17

.

24

288

8

9

32

II.Уравнение не содержит y и его

производных до порядка (k 1) включительно,

то есть имеет

вид F(x, y (k ) , y (k 1) ,...y (n) ) 0 .

Для понижения порядка уравнения применяется подстановка y(k) v(x) . После применения

этой подстановки уравнение приобретает вид

F(x,v,v ,...,v(n k ) ) 0 . Если удается найти общее

решение

последнего

уравнения

v v(x, C , C

2

...C

n k

) y (k ) ,

то

после

k -кратного

1

интегрирования получим общее решение исходного уравнения.

Пример. Проинтегрировать уравнение xyV y IV

0 .

Решение. Уравнение

не содержит y

и его производных до третьего порядка включительно.

Поэтому

его

порядок

понижается

путем

введения

замены

y IV

v(x).

Относительно новой

переменной уравнение имеет вид

x

dv

v 0 v C x y IV C x.

dx

1

1

Последовательно интегрируя последнее равенство четыре раза, получим

y C

x2

C

, y C

x3

C

x C

, y

C

x4

C

x2

C

x C

,

1

2

2

1

6

2

3

1 24

2

2

3

4

y C

x5

C

x3

C

x2

C

x C

x5

x3

x2 C

x C

C

C

C

,

1 120

2

6

3

2

4

5

1

2

3

4

5

где

С1

,

C2

,

C3

.

С

C

2

C

3

1

120

6

2

III.Уравнение не содержит

явно переменной x ,

(n)

) 0 . В этом

то есть имеет вид F ( y, y ,..., y

случае порядок уравнения понижается путем замены

y v( y) . Последовательно получим

dv

d 2v

dv

2

dv

d (n 1) v

y v( y), y

v, y

v 2

v,..., y (n) (v,

,...,

) .

dy

dy 2

dy

dy n

dy

Приходим к уравнению (n 1) -го порядка

F ( y, v,...,(v,

dv

,...,

d (n 1)v

)) 0.

dy

dy n

Если удалось найти общее

решение последнего уравнения v ( y, C1 , C2 ,..., Cn 1 ) , то для

отыскания y будем иметь уравнение с разделяющимися переменными

dy

( y, C , C

,...,C

) .

2

n 1

dx

1

Пример.

Проинтегрировать уравнение

yy y 2 y 2 ln y в области y 0, y 0.

Решение.

Уравнение не

содержит

явно переменной x . Поэтому выполним замену

y v( y), y

dv

v.

Уравнение

примет вид yv

dv

v 2 y 2 ln y . Разделив обе части этого