Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4612 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Тульский Государственный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

КР Динамика_заочники

.pdf
Скачиваний:
20
Добавлен:
10.05.2015
Размер:
1.41 Mб
Скачать
☆

рис. 41. Силы сцепления FСЦ t и FСЦ .

рис. 42. Силы натяжения в канатах T12 и T23

51

9.АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ОПТИМИЗАЦИИ

Врезультате решения полученного дифференциального уравнения движения механической системы были определены: закон движения первого груза, его скорость и ускорение как функции времени t. На основании этих результатов по разработанному алгоритму вычисляются значения реакций связей механической системы в зависимости от времени t. Так как значения параметров системы выбирались случайным образом, то получили, что в некоторые моменты времени натяжение нитей становятся отрицательными, а сила сцепления превышает свое предельное значение и, следовательно, математическая модель не соответствует поведению механической системы. Для устранения этой ситуации была определена область допустимых значений внутренних параметров механической системы

m** 1.3 кг

 

m

 

m*** 1.5 кг

1

 

1

 

1

 

 

 

 

m

 

m** 2.1 кг

 

 

2

 

2

 

m* 20 кг

 

m

 

 

 

 

3

 

3

 

 

 

 

c*** 1050 Н / м

 

c

 

 

 

 

удовлетворяющих условиям

 

 

 

 

 

 

T12 0 , T23 0

и

 

 

 

fСЦ N3

 

 

 

 

FСЦ FСЦ

 

В этой области предложены следующие значения указанных параметров, обеспечивающих вышеуказанные условия

m1 1.4 кг, m2 20 кг, m3 20 кг, с 2000 Н / м

Результаты расчетов скорректированной механической системы представлены в виде графиков и аппроксимирующих зависимостей, иллюстрирующихизменениеинтересующихпараметроввзависимостиотвремени.

52

Приложение 1. Интегрирование дифференциальных уравнений

Математическая модель механической системы, полученная с помощью описанных выше теорем и принципов теоретической механики, представляет собой неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами вида:

 

 

k

2

S F(t) .

(1)

S

2n S

 

Найдем решение данного дифференциального уравнения.

Общее решение S неоднородного дифференциального уравнения (1) складывается из общего решения однородного уравнения SОД и частного решения SЧ неоднородного:

S SОД SЧ .

Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному (1), имеет вид:

 

 

2

S 0

(2)

S

2 n S k

 

Решение этого уравнения ищем в виде функции

 

 

S A e t

(3)

где А и — неопределенные постоянные величины. Подставляя (3) в (2), получаем:

2 2 n k2 A e t 0.

Так как мы ищем нетривиальное решение, то S A e t . Следовательно, должно выполняться условие

2 2n k2 0

(4)

Уравнение (4) называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (2). Это уравнение имеет два корня

53

Приложение 1. Интегрирование дифференциальных уравнений

1,2 n

n2 k2

(5)

В зависимости от знака подкоренного выражения, корни характеристического уравнения могут быть комплексно-сопряженными или действительными. Возможны три случая:

n k подкоренное выражение отрицательное, следовательно корни комплексно-сопряженные,

n k подкоренное выражение равно нулю, корни действительные, кратные.

n k подкоренное выражение больше нуля, корни действительные, разные.

В первом случае n k общее решение уравнения (2) имеет вид:

 

 

 

S A1 ei k1 t A2 e i k1 t e nt

(6)

где

A , A – постоянные интегрирования, k k2

n2

 

1

2

1

 

Решение (6), используя известные формулы Эйлера

ei k1 t cos k1 t i sin k1 t , e i k1 t cos k1 t i sin k1 t ,

нетрудно представить в виде:

S

ОД

A e nt sin

k t

0

 

(7)

 

 

0

1

 

 

 

где A0 , 0 - постоянные интегрирования.

 

 

 

 

Во втором случае n k

общее решение имеет вид:

 

 

S

ОД

e nt A A

t

 

 

(8)

 

 

1

2

 

 

 

 

В третьем случае n k общее решение имеет вид:

SOД e nt A1 ek2 t A2 e k2 t

(9)

54

 

Приложение 1. Интегрирование дифференциальных уравнений

где k2

n2 k2 .

Решение (9), используя так называемые гиперболические функции (гиперболические синус и косинус)

ek2 t ch k2 t sh k2 t , e k2 t ch k2 t sh k2 t ,

нетрудно представить в виде:

S

ОД

A

e nt sh k

2

t

0

 

(10)

 

0

 

 

 

 

Частное решение ищем в виде правой части дифференциального уравнения (1). В том случае, если в выражении правой части встречаются

тригонометрические функции, частное решение будет иметь вид:

 

 

 

 

 

SЧ B1 sin pt B2 cos pt B0 sin( pt 0 )

(11)

где используется известное тригонометрическое соотношение

 

 

 

 

 

sin( ) sin cos cos sin .

 

 

Тогда B1 B0 cos 0 , B2

B0

sin 0 и окончательно

 

 

 

 

 

B

B 2 B 2 ,

 

0

arctg B

B

 

 

 

 

 

 

 

0

 

1

2

 

 

2

1

 

 

 

 

Подставляя (11) в (1), после несложных преобразований получим

 

2

p

2

2 n p B2

 

 

 

 

 

 

2

p

2

 

 

B1 k

 

 

sin pt

2 n p B1 B2 k

 

 

cos pt h0 sin pt .

Приравнивая коэффициенты, справа и слева, при соответствующих тригонометрических функциях, получаем систему алгебраических уравнений для определения постоянных B1 и B2 :

k2 p2 B1 2n p B2 h0 2n p B1 k2 p2 B2 0

Решая эту систему алгебраических уравнений, получаем выражения

55

Приложение 1. Интегрирование дифференциальных уравнений

для коэффициентов B1, B2 и B0, 0 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k2 p2

 

B h

 

 

 

2n p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B1 h0

 

 

 

 

 

2

0 k2 p2 2 4n2 p2

k2 p2 2 4n2 p2

 

 

B

h

 

 

1

 

;

 

 

arctg

 

 

2np

.

 

 

 

 

0

 

 

 

0

0

 

k2 p2

2 4n2 p2

 

 

 

 

 

k2 p2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, решение (11) найдено.

Складывая SЧ и SОД , получаем общее решение неоднородного уравнения (1):

A

e nt sin k t

0

 

при

n k

 

0

 

 

1

 

 

 

 

 

A0

 

e nt 1 0 t

 

 

при

n k

S B0 sin( pt 0 )

 

 

 

A

e nt sh k

 

t

 

 

при

n k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

2

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Константы A0 и 0 определяются из начальных условий:

при t = 0 S

 

t 0 S0 ,

 

S

 

t 0

S0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примечание. В каждом варианте задания в зависимости от исходных данных реализуется только один из трех рассмотренных случаев. Следовательно, возможен только один из представленных выше (7), (8), (10) видов общего решения однородного дифференциального уравнения.

56

Приложение 2. Осевые моменты инерции тел вращения

Применение теоремы об изменении кинетического момента и теоремы об изменении кинетической энергии связано с вычислением величины момента инерции тела относительно оси вращения. Приведём моменты инерции некоторых простейших тел.

 

r

z

R

 

— круговое кольцо (круговой цилиндр)

JzC 12 m r2 R2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— сплошной цилиндр радиуса R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jz

1 mR2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— тонкостенный цилиндр (труба) радиуса R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jz

mR2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— цилиндр с неоднородным распределением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

массы по сечению ( i — радиус инерции)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jz

mi2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

57

Приложение 3. Альбом заданий для курсовой работы

MC

4

c

3

 

2

1

F t

рис. 1

Вариант

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r2

r

1.5 r

2 r

1.5 r

r

2 r

r

2 r

1.5 r

r

i2

r

r*

r**

r*

r**

2 r

r*

3 r

r*

r**

r3

2 r

r

1.5 r

r

2 r

1.5 r

1.5 r

r

2 r

2 r

R3

3 r

2 r

2 r

1.5 r

3 r

2 r

3 r

2 r

4 r

3 r

i3

r*

2 r

r*

r**

r**

2 r

r*

r

r**

3 r

r4

1.5 r

2 r

r

2 r

1.5 r

r

2 r

1.5 r

r

1.5 r

R4

2 r

3 r

2 r

3.5 r

2 r

2 r

4 r

2.5 r

3 r

2 r

i4

3 r

r*

R*

R**

r*

r**

R*

2 r

R*

R**

58

Приложение 3. Альбом заданий для курсовой работы

4

c

 

3

 

 

2

 

1

 

F t

 

 

 

 

 

рис. 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант

0

1

2

3

 

4

5

6

7

8

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r2

r

1.5 r

2 r

1.5 r

 

r

2 r

r

2 r

1.5 r

r

i2

r

r*

r**

r*

 

r**

2 r

r*

3 r

r*

r**

r3

2 r

r

1.5 r

r

 

2 r

1.5 r

1.5 r

r

2 r

2 r

R3

3 r

2 r

2 r

1.5 r

 

3 r

2 r

3 r

2 r

4 r

3 r

i3

r*

2 r

r*

r**

 

r**

2 r

r*

r

r**

3 r

r4

1.5 r

2 r

r

2 r

 

1.5 r

r

2 r

1.5 r

r

1.5 r

R4

2 r

3 r

1.5 r

3 r

 

3 r

1.5 r

3 r

2 r

1.5 r

2 r

i4

2 r

r*

r

r*

 

2 r

r**

3 r

r**

r

r*

59

Приложение 3. Альбом заданий для курсовой работы

MC

4

c

3

 

2

1

F t

рис. 3

Вариант

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r2

r

1.5 r

2 r

1.5 r

r

2 r

r

2 r

1.5 r

r

R2

1.5 r

3 r

3 r

2 r

2 r

3 r

1.5 r

3 r

3 r

2 r

i2

r

r*

r**

r*

r**

2 r

r*

3 r

r*

r**

r3

2 r

r

1.5 r

r

2 r

1.5 r

1.5 r

r

2 r

2 r

R3

3 r

2 r

2 r

1.5 r

3 r

2 r

3 r

2 r

4 r

3 r

i3

r*

2 r

r*

r**

r**

2 r

r*

r

r**

3 r

r4

1.5 r

2 r

r

2 r

1.5 r

r

2 r

1.5 r

r

1.5 r

i4

2 r

r*

r

r*

2 r

r**

3 r

r**

r

r*

60

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности