КР Динамика_заочники

4.СОСТАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЗМА С ПОМОЩЬЮ ПРИНЦИПА ДАЛАМБЕРА-ЛАГРАНЖА.

рис. 4. Расчетная схема

Общее уравнение динамики системы есть математическое выражение принципа Даламбера-Лагранжа

ментарных работ всех сил инерции на возможном перемещении системы. Изобразим на рисунке активные силы и силы инерции (рис. 4).

22

Сообщим системе возможное перемещение. Возможная работа активных сил определяется как сумма следующих элементарных работ:

n

Ake AP1 AFynp AMC AF AP3 (4.2)

k 1

Сумма элементарных работ указанных сил вычисляется, как и мощность по формуле (1.9)

Найдем возможную работу сил инерции:

k 1

Для величин главных векторов и главных моментов сил инерции имеем следующие выражения:

Тогда возможную работу сил инерции можно преобразовать к виду

или

23

Аналогичное выражение для приведенной массы системы было получено ранее (1.8). Подставляя выражения (4.3) и (4.8) в общее уравнение динамики (4.1) получим

Разделив (4.9) на S 0, получаем дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы:

Дифференциальное уравнение (4.10) полностью совпадает с уравнением (1.15) полученным ранее.

24

5.СОСТАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЗМА С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА 2-ГО РОДА.

Составим теперь уравнение Лагранжа 2-го рода. В качестве обобщенной координаты примем перемещение груза 1 — S. Для механической системы с одной степенью свободы дифференциальное уравнение движе-

где T — кинетическая энергия системы; Q — обобщенная сила; S — обобщенная координата.

Выражение для кинетической энергии системы было найдено ранее

Для определения обобщенной силы Q сообщим системе возможное перемещение, при котором координата S получит приращение S, и вычислим сумму элементарных работ всех активных сил на возможном перемещении.

k 1

Из (5.3) получаем выражение для обобщенной силы:

25

Подставляя кинетическую энергию (5.2) и обобщенную силу (5.4) в уравнение Лагранжа получаем

где h0 F0 — относительная амплитуда возмущающей силы..

mnp

26

рис. 5. Перемещение S(t) и скорость V (t) груза 1.

27

рис. 6. Силы натяжения в канатах T12 и T23

рис. 7. Силы сцепления Fсц t и F 'сц .

28

7.ИССЛЕДОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

При проектировании механических систем используют критические режимы внешних воздействий на них. Поэтому внешние факторы: — коэффициент сопротивления, F0 , p — амплитуда и частота возмущающей силы, изменяются незначительно. Конструктивные параметры механических систем (их геометрические размеры) определяются условиями их функционирования и, следовательно, могут изменяться в очень узком диапазоне. Актуальной становится такая задача оптимизации механической системы, при которой могут изменяться массовые параметры системы (например, mпр или m1 ), и жесткость упругого элемента — c .

Математическая модель, описывающая поведение исследуемой механической системы, построена в предположении, что каток 3 движется без проскальзывания. Данное утверждение предполагает, что модуль силы сцепления FСЦ подчинен следующему ограничению

FСЦ FСЦ fСЦ N3

Здесь FСЦ — предельное значение силы сцепления всегда положительно и равно FСЦ fСЦ N3 fСЦ m3 cos 7.65 H .

Следующее утверждение, на котором основана данная математическая модель, предполагает положительность сил натяжения канатов T12 ,

T23 , т.е.

T12 0 , T23 0

Другие предположения ограничивающие область функционирования механической системы отсутствуют, поэтому остановимся на исследовании вышеуказанных сил и влиянии на них внутренних параметров системы.

Результаты расчетов показывают (см. рис.6, рис.7), что силы натяже29

ния канатов T12 , T23 в некоторые моменты времени становятся отрицательными, а сила сцепления FСЦ превышает ее предельное значение FСЦ .

Следовательно, математическая модель не соответствует реальному поведению механической системы: нити провисают, тела движутся рывками, а каток — с проскальзыванием. Для определения значений внутренних параметров m1 , m2 , m3 , c механической системы, обеспечивающих ее функционирование в соответствие с предложенной математической моделью, выберем в качестве анализируемых функций величины сил натяжения T12 0 , T23 0 и разность F FСЦ FСЦ . Исследуем изменение этих функций, в зависимости от масс тел входящих в механическую систему, а также жесткости упругого элемента, т.е.

T12 T12 m1, m2 , m3, c, t , T23 T23 m1, m2 , m3, c, t ,F F m1, m2 , m3, c, t .

t

m1

рис. 8. Зависимость T12 m1, t при c 2 кН / м, m2 2 кг, m3 3 кг

30