Задание 3

В задачах 1 -9 найти решения, удовлетворяющие заданным условиям

Решить уравнения.

1.5. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

Уравнение

(1.10)

называется уравнением в полных дифференциалах, если – дифференцируемые функции, для которых

, (1.11)

причем производные в (1.11) непрерывны в некоторой области, содержащей точку .

При выполнении условия (1.11) (и только в этом случае) левая часть уравнения (1.10) является полным дифференциалом некоторой функции двух переменных :

. (1.12)

Поэтому уравнение (1.10) имеет вид и его общий интеграл –.

Функция может быть найдена по формуле

, (1.13)

или непосредственно исходя из справедливости соотношения (1.12).

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Это уравнение в полных дифференциалах, поскольку

Функцию найдем из уравнений

Интегрируя, например, второе из этих уравнений по (считаяпостоянным), получаем

где – некоторая дифференцируемая функция. Подберем эту функцию так, чтобы выполнялось соотношениеИмеем

Итак, и общий интеграл уравнения имеет вид

Если условие (1.11) не выполнено, то уравнение (1.10) не будет уравнением в полных дифференциалах. Можно попытаться найти функцию (интегрирующий множитель) так, чтобы уравнение

стало уравнением в полных дифференциалах. Для этого должно выполняться условие

или

(1.14)

Предположим, что интегрирующий множитель является функцией только переменной Тогда уравнение (1.14) принимает вид

. (1.15)

Если правая часть уравнения в (1.15) есть функция, зависящая только от , то интегрирующий множитель видасуществует.

Аналогично получаем, что в случае, когда выражение есть функция, зависящая только от, существует интегрирующий множитель вида, который находится из уравнения

(1.16)

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Представим данное уравнение в виде

(1.17)

Заметим, что

.

Поэтому существует интегрирующий множитель вида , который может быть найден из уравнения (1.16):

В качестве возьмем. Умножая обе части уравнения (1.17) на, получим уравнение в полных дифференциалах

Функцию найдем по формуле (1.13), взяв:

Итак, общий интеграл уравнения имеет вид Заметим, что при делении напотеряны решения исходного уравнения

Задание 4

Решить уравнения, убедившись предварительно, что они являются уравнениями в полных дифференциалах

Решить уравнения, допускающие интегрирующий множитель вида или

1.6. Уравнения, не разрешенные относительно производной. Особые решения

Дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной, имеет вид

(1.18)

Для решения уравнения (1.18) желательно разрешить его относительно . При этом может получиться несколько уравнений, разрешенных относительно производной. Если удается найти решения всех этих уравнений, то, объединяя их, получим общее решение уравнения (1.18) .

Решить уравнение

Решение. Представим данное уравнение в виде Следовательно, данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:иРешения первого из нихи. Решение второгоОкончательно получаем, что общее решение исходного уравнения

Однако уравнение (1.18) не всегда удается разрешить относительно . Часто разрешенное относительноуравнение плохо интегрируется. В некоторых случаях уравнение (1.18) удобнее интегрировать методомвведения параметра.

Пусть, например, уравнение (1.18) легко разрешается относительно . Введем параметр. Тогда уравнение примет вид. Дифференцируя обе части последнего равенства по, получим. Если удается разрешить это уравнение относительно, то есть найти, то получим решение исходного уравнения в параметрической форме:

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Введем параметр Тогда

или .

Получаем, что или. Значениюсоответствует решение.

Итак, решениями исходного уравнения являются и

Пусть уравнение (1.18) может быть разрешено относительно х: . В этом случае уравнение может быть решено с использованием подстановки

Пример 3. Найти общее решение уравнения

Решение.

Итак, параметрические уравнения решения имеют вид

Как и уравнение, разрешенное относительно производной, уравнение (1.18) может иметь особые решения, то есть решения, целиком состоящие из особых точек (точек неединственности). Особые решения, если они имеются, удовлетворяют системе уравнений

(1.19)

Для каждой функции , удовлетворяющей системе (1.19), необходимо проверить, что она в самом деле является решением уравнения (1.18) и является особым решением, то есть в каждой точке кривойее касаются другие интегральные кривые того же уравнения.

Особым решением дифференциального уравнения (1.18) будет являться и огибающая семейства интегральных кривых этого уравнения. Для нахождения огибающей семейства интегральных кривыхследует исключить параметриз системы уравнений

(1.20)

и проверить, является ли полученная кривая огибающей, то есть, касаются ли ее в каждой точке кривые данного семейства.

Пример 4. Решить уравнение . Найти его особые решения (если они есть).

Решение. Положив , получим. То естьили. Поэтому решениями исходного уравнения являются функции

Исключая параметр , имеем.

Найдем теперь решения, "подозрительные" на особые. Система (1.19) в данном случае принимает вид

Исключая из нее , найдем:. Проверим, является ли решениеособым, то есть проверим касаются ли его кривые семейства решений. Условия касания кривыхив точке с абсциссойвыглядят так:. В данном случае они примут вид

Исключая из этой системы, получаем. Это равенство справедливо при всех. Последнее и означает, что– особое решение.

Заметим, что это же особое решение могло быть найдено из системы (1.20), которая в данном случае имеет вид