6

6. СИГНАЛЫ ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ

Общие сведения. В средствах измерений передача, хранение и отображение информации о значениях измеряемых величин осуществляются с помощью сигналов, которые принято называть сигналами измерительной информации. Сигнал как материаль­ный носитель информации представляет собой некоторый физиче­ский процесс, один из параметров которого функционально свя­зан с измеряемой величиной. Такой параметр называют информа­тивным параметром. Остальные параметры сигнала называют неинформативными (см.§ 1-1). В электрических средствах изме­рений наиболее часто применяют электрические сигналы, инфор­мативными параметрами которых могут быть мгновенные значе­ния постоянных токов и напряжений, амплитудные, средневыпрямленные или действующие значения синусоидальных токов и напряжений, а также их частота или фаза и др.

При прохождении сигналов в средствах измерений они могут преобразовываться из одного вида в другой, более удобный для последующей передачи, хранения, обработки или восприятия оператором. Для иллюстрации таких преобразований на рис. 4-1 приведена структурная схема прибора, предназначенного для измерения температуры. На выходе термопары ТП возникает сигнал измерительной информации — термо-ЭДС e, которая за­висит от измеряемой температуры t (°C). Этот сигнал преобразуется модулем М в прямоугольные импульсы напряжения , амплитуда которых пропорциональна термо-ЭДС. Переменная составляющая сигнала усиливается усилением У~ переменного тока и преобразуется в однополярные импульсы выпрямителем B. Выходной сигнал выпрямителя подаётся на милливольтметр mV, вызывая отклонение его указателя на некоторый угол . В данной схеме сигналы e, , u, , есть сигналы измерительной информации.

Рис. 4.1. Сигналы измерительной информации в приборе для измерения температуры.

Измерительная величина – температура в рассматриваемом примере – является входным сигналом для первичного измерительного преобразователя. Если сформулировать строже, то измеряемая величина является информативным параметром входного сигнала. Так, например, при измерении действующего напряжения силовой сети переменного тока входным сигналом является синусоидальное напряжение, а измеряемой величиной – действующее значение этого сигнала, являющееся в данном случае его информативным параметром.

Необходимым условием различных преобразовании сигналов является реализация определенной (чаще линейной) функцио­нальной зависимости между информативными параметрами сиг­налов у и измеряемой величиной х. Практически в средствах измерений это условие выполняется с некоторой точностью, обус­ловленной погрешностями преобразования звеньев и действием помех. Применение того или иного вида сигнала зависит от мно­гих факторов: используемых принципов преобразования измеряе­мых величин в электрический сигнал для первичных измеритель­ных преобразователей, требуемой точности и помехоустойчивости передачи измерительной информации, скорости изменения изме­ряемых величин и т. д. Существует множество различных видов сигналов. Важным классификационным признаком сигналов является характер их изменения во времени и по информатив­ному параметру. По этому признаку различают непрерывные, или аналоговые, и дискретные сигналы. Часто изменение сигнала по информативному параметру называют изменением по уровню. Дискретные по уровню сигналы называют также квантованными сигналами.

Рассмотрим основные виды сигналов, используемых в средствах измерений.

1. Непрерывные (аналоговые) по информативному параметру и времени сигналы. Непрерывные сигналы определены в любой момент времени существования сигнала и могут принимать любые значения в диапазоне его измерения. В качестве таких сигналов нашли применения постоянные и гармонические токи и напряжения. Для постоянных токов i и напряжения u информационными параметрами являются их мгновенные значения, функционально связанные с измеряемой величиной x . На рис. 4-2, б изображен непрерывный сигнал y (ток i или напряжение u ), связанный линейной зависимостью y=kx с измеряемой величиной x , здесь k — коэффициент преобразования (см. § 4-5).

В гармонических сигналах информативными параметрами могут быть амплитуда Y_m, угловая частота или фаза . Измерение информативного параметра гармонического сигнала в соответствии с измеряемой величиной x называют модуляцией этого сигнала. Если с изменением x в гармоническом сигнале меняется один из параметром или , то говорят, что осуществляется соответственно амплитудная – АМ (рис. 4-2, а, в), частотная – ЧМ (рис. 4-2, а, г) или фазовая – ФМ (рис. 4-2, а, д) модуляция. При фазовой модуляции фаза сигнала определяется, относительно второго (опорного) гармонического сигнала .

Рис. 4-2. Измеряемая величина х (а) и сигналы измерительной информации у (б — м)

2. Непрерывные по информационному параметру и дискретные по времени сигналы. Такие сигналы определяются на некотором конечном или счётном множестве моментов времени (или на множестве интервалов времени , см. ниже). Теоретическая модель таких сигналов показана на рис. 4-2, е, где - последовательность значений непрерывного сигнала y(t)=kx(t) (рис. 4-2, б), определённых в момент времени . В реальных средствах измерений подобным сигналом является периодическая последовательность импульсов постоянного тока (рис.4-2, ж), у которых в отличие от абстрактной модели, информативными параметрами могут быть не только амплитуда Y_m, но и частота f и длительность т этих импульсов. При этом в зависимости от .того, какой из этих параметров функционально связан с х, имеет место соответственно амплитудно-импульсная — АИМ (рис. 4-2, а, ж),частотно-импульсная — ЧИМ (рис. 4-2, а, з) или широтно-импульсная — ШИМ (рис. 4-2, а, и) модуляция сигнала.

3. Сигналы, непрерывные по времени и квантованные (дис­кретные) по информативному параметру. В таких сигналах (рис. 4-2, б, к) информативный параметр может принимать толь­ко некоторые разрешенные уровни у/, отстоящие друг от друга на конечные интервалы (кванты) . Примером является сигнал на выходе цифро-аналогового преобразователя (см. § 8-3).

4. Сигналы, дискретные по времени и квантованные по инфор­мативному параметру. Теоретической моделью такого сигнала (рис 4-2, л) является дискретная последовательность значений неприрывного сигнала (Рис. 4-2, б), принимающая только разрешённые уровни , и определенная в дискретные моменты времени . Такому виду сигналов соответствует, например, сигналы при кодово-импульсной модуляции, при которой в моменты времени каждому разрешенному уровню ставится в соответствие определённый код – комбинация условных сигналов (см. п. 1-1, 8-1), в частности импульсов постоянного тока высокого уровня, обозначаемых 1, и импульсов низкого уровня, обозначаемых 0. Так, на рис. 4-2, м показаны две кодовые комбинации – 0101 и 1010, соответствующие уровням и (рис. 4-2, л) в моменты времени и .

Приведенные примеры сигналов широко используются в электрических средствах измерений. Однако следует иметь в виду, что находят применения и другие сигналы.

Для описания реальных физических сигналов применяют различные математические модели.

Математические модели сигналов. Под математической мо­делью понимают описание сигнала на формальном языке матема­тики, т. е. с помощью формул, неравенств или логических соотно­шений. Для описания одних и тех же сигналов могут быть исполь­зованы различные математические модели. Выбор модели определяется адекватностью модели реальному сигналу, просто­той математического описания, назначением модели и др.

Особенностью моделей сигналов измерительной информации является априорная (доопытная) неопределенность значений ин­формативных параметров, обусловленная в общем случае неизве­стными размерами измеряемых величин.

Существуют различные подходы к построению математиче­ских моделей сигналов.

1. Сигнал принимают квазидетерминированным. В этом слу­чае для математического описания сигнала используют различ­ные детерминированные функции времени. Модели таких сигна­лов называют квазидетерминированными (или детерминированными), подчеркивая тем самым, что вид функции, описывающей сигнал, известен, а неизвестными (информативными) являются ее параметры.

2. Сигнал рассматривают как случайный процесс. Описание таких сигналов основывается на теории вероятностей и теории случайных функций. В этом случае изменение сигнала во времени и пространстве характеризуется законом распределения, матема­тическим ожиданием, дисперсией и корреляционной функцией. Модели' таких сигналов называют случайными.

3. Сигналы представляют в виде комбинации случайной и детерминированной составляющих, в частности в виде суммы сигнала измерительной информации (квазидетерминированная составля­ющая) и помехи (случайная составляющая).

Модели квазидетерминированных сигналов. При построении таких моделей используется как временное, так и спектральное представление сигналов. Во временной области применяют некоторые функции , наиболее близко описывающие изменение сигнала во времени, в которых один из параметров , зависит от измеряемой величины x(t). Такими функциями могут быть: функция включения, дельта-функция, тригонометри­ческие и экспоненциальная функции, различные алгебраические полиномы и др.

Рассмотрим некоторые примеры моделей квазидетерминиро­ванных сигналов.

А. При скачкообразном изменении измеряемой величины x(t) сигнал у(t) на выходе безынерционного измерительного преобразователя может быть записан с использованием функции включения.

Рис. 4 - 3. Функция включения (а) и последовательность прямоугольных импульсов (б)

Функция включения (рис 4-3, а), или единичный скачок, определяется системой равенств

(4 -6)

С помощью этой функции сигнал измерительной информации может быть записан в виде

y(t)=a l(t-t₁)-kx (t) l(t-t₁). (4 -7)

где k - коэффициент преобразования. Значение параметра а=kx(t) до опыта остается неизвестным, поэтому в рамках квазидетерминированной модели обычно оценивают диапазон а изме­нения сигнала в зависимости от диапазона ∆х изменения измеря­емой величины.

Б. Использование детерминированных моделей особенно удобно при описании периодических сигналов. Так, уравнение амплитудно-модулированного гармонического сигнала (рис. 4 -2, в) имеет вид

Y(t) = У_m[l +тх t)]cos w₀ t (4 - 8)

где w₀ - частота так называемых несущих колебаний; т — ко­эффициент амплитудной модуляции, определяющий влияние х (t) на амплитуду Ym[l+mx(t)] синусоидальных колебаний. Диапа­зон изменения этой амплитуды характеризует глубину модуляции гармонического сигнала.

В. Для описания периодической последовательности прямо­угольных импульсов постоянного тока (рис. 4 -3, б) применяют выражение

Y(t)= (4 - 9)

где Y_m — амплитуда импульса; — длительность импульса; T=t_k+1-t_{k -} период следования импульса. В этом случае анали­тическое выражение для АИМ сигнала имеет вид

(4 -10)

где m - коэффициент, характеризующий диапазон модуляции амплитуды Y_m[l + mx (t)].

Выражения (4 - 8) и (4 - 10) описывают амплитудную моду­ляцию периодических сигналов. Аналогично могут быть полу­чены аналитические зависимости для ЧМ, ФМ, ЧИМ и ШИМ, в которых соответствующие параметры модели являются функциями x(t).

Г. Сигналы измерительной информации могут иметь доста­точно сложную структуру. Для точного описания таких сигналов (если оно принципиально возможно) приходится использовать сложные математические выражения. Часто оказывается удоб­ным такие сигналы на интервале времени ∆t описывать суммой некоторых относительно простых функций (аппроксимировать суммой функций). В общем случае для точного описания сигнала необходимо использовать бесконечный ряд У( t) = Где Vi (t) - некоторые выбранные для аппроксимации функции {базисные функции); C_i - весовые коэффициенты. На практике используют конечную сумму аппроксимируемых функций.

у* (t) = , что приводит к погрешности аппроксимации , так как аппроксимирующая функция у* (t) не равна во всех точках у (t) (см. рис. 4 -6). Погрешность зависит от вида функции и от интервала ∆t представления сигна­ла, т. е. интервала, на котором у(t) аппроксимируется у* (t). В качестве Vi (t) нашли применение полиномы Лагранжа (см. стр. 72), Лежандра, Чебышева и др.

Наряду с временным описанием сигналов широко использует­ся их спектральное представление. Это представление основыва­ется на преобразовании Фурье сигналов у (t). Применяя разло­жение в ряд Фурье, периодический сигнал у (t) может быть пред­ставлен суммой гармонических составляющих:

(4 -11)

где Aо - постоянная составляющая; А_n и - амплитуда и фаза n-й гармонической составляющей сигнала; n - номер гармони-ки. Множество значений А_n и образуют соответственно ампли­тудный и фазовый спектры сигнала. Такие спектры часто изобра­жают графически.

Для непериодического сигнала у t/), используя интеграл Фурье, определяют его спектральную плотность

(4 – 12)

Спектральное представление сигналов позволяет оценить частотный диапазон ∆w, т.е. такой диапазон частот, в котором заключены все или основные (имеющие наибольшие амплитуды» гармонические составляющие сигнала.

Частотный диапазон является важной характеристикой сигналов, определяющей необходимую полосу пропускания средств измерении (см. § 4 - 6) для передачи сигналов с требуемой точно­стью. Так, для непрерывных сигналов у (t) при линейной зависимости у (t)=kx(t) вид спектра сигнала повторяет спектр изме­ряемой величины х (t) с точностью до постоянного множителя равного k. Следовательно, при таком сигнале средства измерений должны иметь полосу пропускания частот (см. § 4 -6), определя­емую спектром измеряемой величины х (t).

При амплитудной модуляции гармонического сигнала спектр имеет более сложную зависимость от спектра входной величины х (t). Если х (t) представляет собой гармоническое колебание с частотой Ω, то на основании (4 - 8) и (4 - 11) получим

Ω (4 - 13)

Спектр А_n такого сигнала показан на рис 4 - 4, а. Для неискаженной передачи этого сигнала средство измерений до­лжно иметь полосу пропускания частот в диапазоне от w₀ - Ω до w₀+Ω,

При модуляции импульсных сигналов спектр имеет достаточ­но сложную структуру. В качестве примера на рис 4 - 4, б показав вид спектра АИМ сигнала при х (t) =cos Ωt. Спектр такого сиг­нала бесконечен по частоте. В этом случае при определении тре­бований к полосе пропускания соответствующих средств измере­ний исходят из допускаемой погрешности искажения сигнала за счет ограничения его частотного диапазона. Приведенные примеры показывают важность анализа час­тотных характеристик (спектров) сигналов измерительной ин­формации.

Таким образом, описание сигналов квазидетерминированными моделями дает хорошую математическую интерпретацию про­исходящих во времени процессов в средствах измерений. При известном х (t) эти модели дают точное (в пределах принятой модели) описание сигнала y{t). Однако поскольку измеряемая

Рис. 4-4. Спектры амплитудной (а) и амплитудно-импульсной (б) моду­ляции сигналов при гармоническом модулирующем сигнале

величина х (t) является неизвестной, то на основании этих моде­лей обычно определяют предельные' характеристики сигналов у (t): диапазон изменения сигнала и его информативного пара­метра, частотный диапазон и другие характеристики.

Модели случайных сигналов. Математические модели случай­ных сигналов основываются на использовании теории вероятно­стей и теории случайных процессов.

Во многих приложениях сигнал измерительной информации можно рассматривать как случайную величину. Например, после­довательно измеряя сопротивления нескольких резисторов одно­го номинала, можно получить некоторый «разброс» в результатах измерений, обусловленный, в частности, технологией изготовле­ния резисторов. Такой «разброс» нельзя описать детерминиро­ванными функциями. В подобных случаях для описания сигналов применяют такие характеристики, которые используют для опи­сания случайных величин (см. §3-2) - законы распределения, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение. Эта характеристики определяют либо опытным путем, либо на основании теоретических предпосылок о возможных изменениях измеряемой величины.

В наиболее общем виде сигналы измерительной информации могут быть представлены как случайные процессы. Например, регистрируя с помощью самопишущего прибора силу тока, по­требляемого некоторым большим промышленным объектом, на диаграмме прибора получаем сложную кривую, определяемую случайным характером изменения нагрузки питающей сети. Де­лая повторно такие эксперименты, каждый раз будем получать новые кривые, отличающиеся друг от друга.

Семейство возможных реализаций y₁(t) сигналов, подчиненное определенным вероятностным характеристикам, образует случайный сигнал Y (t) (рис. 4 - 5, а, б). Такими характеристика­ми могут быть закон распределения или его числовые характери­стики (математическое ожидание и среднее квадратическое от-

Рис. 4 -5. Реализации (а, 6) в корреляционные функции (в, г), случайных процессов Y₁{t) и Y₂(t)

клонение) и корреляционная функция или спектральная плот­ность мощности.

Случайный сигнал У(t) в некотором временном сечении t₁ (рис. 4 - 5, а, б) можно рассматривать как случайную величину Y(t₁), реализациями которой являются значения y_i(t_i). Для описания сигнала У (t) в этот момент времени применим одно­мерный закон распределения F (у,t₁). Если этот закон не зависит от времени, т. е. F (y,t₁)=F (y,t₂)=F (у) при t₁ ≠ t₂ , то такие сигналы называют стационарными (в широком смысле). Закон распределения F (у) определяет пространственную по оси орди­нат структуру сигнала Y (t). Иногда вместо F (у) могут быть использованы его характеристики - математическое ожидание M_y и среднее квадратическое отклонение .

Описание У(t) только законом распределения F{у) оказыва­ется недостаточным, поскольку он не характеризует изменение сигнала во времени. Так, сигналы, приведенные на рис. 4 -5, а, б, могут иметь одинаковые законы распределения, однако обладают разной динамиков изменения во времени. Для оценки динамиче­ских свойств сигналов используют понятие корреляционной функ­ции R(t). Для стационарных сигналов с математическим ожи­данием, равным нулю, корреляционная функция определяется математическим ожиданием (пределом среднего значения) про­изведения значений реализаций в моменты времени t и t+.

(4 – 14)

где N - число реализаций случайного сигнала.

Корреляционная функция характеризует статистическую связь между мгновенными значениями случайного сигнала в раз­личные моменты времени. Чем меньше значение корреляционной функции, тем меньше в среднем «зависит» значение сигнала У (t₁ + ) в момент времени fi+ от значения у (ti) в момент времени t₁. На рис. 4 - 5, в, г качественно изображены корреляци­онные функции R₁() и R₂(), соответствующие сигналам У₁ (t) и Y₂ (t). Корреляционная функция R₁ () относительно слабо затухает с увеличением , что говорит о сильной корреляции y(ti) и у (t₁+) для У₁ (t). На реализациях это отражается в относительно плавном изменении сигнала во времени.

Для эргодических сигналов (см. § 16-1) корреляционная функция может быть определена усреднением произведения у (t) у (t+) по времени для одной реализации:

(4 - 15)

При =0 корреляционная функция равна дисперсии сигнала: . (4 - 16)

На практике часто используют понятие нормированной корре­ляционной функции

р()=R()/². (4 - 17)

Для характеристики частотных свойств случайных сигналов используют спектральную плотность мощности S_p (w), которая определяет распределение средней мощности сигнала по его час­тотам. Значения S_p(w) равны средней мощности, приходящейся на единицу полосы частот (иначе — плотности средней мощно­сти) при различных частотах w.

Спектральная плотность мощности S_p (w) и корреляционная функция R () связаны соотношениями:

S_p (w) = (4-18)

(4-19)

Таким образом, для описания случайных сигналов измери­тельной информации применяют некоторую совокупность его ве-

Рис. 4-6. Исходная кривая у (t) сигнала и восстановленная (аппроксими­рующая) кривая у^* (t) полиномами Лагранжа нулевой (а) и первой (б) степени

роятностных характеристик. Так, если рассматривать сигнал как случайную величину, то его характеристикой будет закон распре­деления или его числовые характеристики. Если сигнал рассмат­ривать как случайный процесс, то, кроме закона распределения, необходимо знать его корреляционную функцию или спектраль­ную плотность мощности.

При описании случайных сигналов получили распростране­ние нормальный и равномерный законы распределения и некоторые корреляционные функции, например,