6

, , где w_ср, а — параметры корреляционных функций, за­висящие от динамических свойств случайных сигналов.

Дискретизация сигналов. В задачах преобразования сигна­лов измерительной информации часто возникает необходимость представления непрерывных сигналов дискретными и восстанов­ления сигнала по его дискретным значениям. При этом непрерыв­ный сигнал у (t) представляется совокупностью дискретных зна­чений у (t₁), у(t₂), ...,y(t_i) (рис. 4-6, а, б), по которым с по­мощью некоторого способа восстановления может быть получена оценка у* (t) исходного непрерывного сигнала у (t).

Процесс преобразования у (t) в у (t₁), у(t₂), …, у(t_i) назы­вается дискретизацией непрерывного сигнала. Наиболее часто применяют равномерную дискретизацию сигналов, при которой интервал времени между двумя соседними отсчетами — шаг дис­кретизации ∆t=t_i+1-t_i, остается постоянным.

Восстановление кривой сигнала по дискретным отсчетам осу­ществляется различными базисными функциями. В качестве та­ких функций широко применяют различные полиномы, в частно­сти полиномы Лагранжа. Так, на рис. 4-6, о, б показаны исход­ный сигнал у (t) и восстановленный по дискретным отсчетам сигнал у* (t), полученный на основании применения полиномa Лагранжа нулевой и первой степени. Такое восстановление сигналов называют также нулевой экстраполяцией и линейной интерполяцией.

Качество приближения у (t) и y*(t) определяется погрешностью е (t) =y*(t)-y(t)- Однако использование погрешности (t) для оценки приближения у (t) и у* (t) на практике оказыва­ется неудобным вследствие сложной временной зависимости (t). Поэтому применяют некоторые числовые показатели при­ближения, характеризующие степень близости у (t) и y*(t). В качестве таких показателей могут быть использованы: показатель равномерного приближения

показатель среднего квадратического приближения

, t[0,T]

Где - максимальное значение модуля погрешности восста­новления на интервале представления сигнала 0 - T; - средняя квадратическая погрешность восстановления; при расче­тах часто определяют - среднее значение квадрата, или дисперсию, погрешности восстановления сигнала.

Определим и при восстановлении кривой сигнала полиномами Лагранжа нулевой (n = 0) и первой (n=1) степени. На каждом интервале дискретизации (t_i,t_i+1), t_i+1=t_i+∆t имеем:

для п = 0

y* (t)=; ;

для п = 1

;

где , ; ; - первая и вторая про­изводные у (t) в лагранжевой точке , лежащей внутри интервала дискретизации. Погрешности определяются остаточ­ным членом интерполяционной формулы Лагранжа.

А. Показатель равномерного приближения. На каждом i-м интервале дискретизации максимальная погрешность аппрок­симации может быть оценена неравенствами:

для n = 0

;

для n=1

,

где M_1t, M_2t - максимальные значения модуля соответствующих производных на i-м интервале дискретизации. В последнем выра­жении max |τ (τ- ∆t) | =∆t/4 при τ = ∆t/2.

Для оценки максимальной погрешности восстановления по всему времени существования у(t) используется максимально возможное значение модуля соответствующей производной Мi=mах{M_1t}, M₂=max{M_2t}, определяемое по множеству всех ин­тервалов дискретизации. Следовательно, можно записать;

для n = 0

; (4-20)

для n=1 . (4-21)

Полученные выражения позволяют также определять интер­вал дискретизации при заданной или допускаемой максимальной погрешности е_д восстановления. Так,

для n=0

∆t=е_д/M₁ (4-22)

для n=1 ∆t= (4-23)

Для нахождения е_max или ∆t необходимо знать M₁, или М₂. Возможны различные способы определения M₁ и Мг. В частности можно воспользоваться неравенством С. Н. Бернштейна, утвер­ждающим, что если сигнал у (t) ограничен по модулю некоторым максимальным значением у_т, т. е. \у (t) | ≤y_m, и имеет ограни­ченный частотный диапазон 0 — w_max, то максимальное значе­ние производной n-го порядка ограничено неравенством следовательно, M₁≤w_maxy_m; M₂≤w²y_m.

Б. Показатель среднего квадратического приближения. Среднее значение квадрата погрешности для i-го иитервала . Для оценки приближения y*(t) по всей реализации у (t) находят усредненное по всем N интервалам дискретизации значение квадрата погрешности

при N математическое ожидание згой погрешности

(4-24)

Опуская математические выкладки, для стационарного эргодического случайного сигнала можно записать:

для n = 0

; (4-25)

для n= 1

где р () - нормированная корреляционная функция сигна­ла, - дисперсия сигнала у (t).

Таким образом, процедура дискретизации и восстановления -сигнала на базе полиномов Лагранжа сопровождается появлени­ем, погрешности, зависящей, ох степени полинома, характеристик сигнала [M₁; M₂; p ()] и интервала дискретизации ∆t. В общем случае эта погрешность зависит также от вида функция, исполь­зуемой при восстановлении кривой сигнала.