|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 9. Найти все значения 3 −8 |
и построить их. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
Решение. |
|
−8 |
|
= 8, |
arg(−8)= π, |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
w1 |
|
−8 = 8(cos(π+ 2k π)+ i sin(π+ 2k π)), |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
φ |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
w2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π+ 2k π |
+ i sin |
π+ 2k π |
, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 −8 = 2 cos |
|
3 |
|
3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
w3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Рисунок 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
π |
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
+ i 3 , |
|
|
|||
k = 0, w |
1 |
= |
2 |
|
cos |
|
+ i sin |
|
|
= 2 |
|
+ i |
|
|
|
|
= 1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
k =1, |
w2 |
= 2 |
|
|
π + 2π |
+ i sin |
π+ 2π |
= 2 |
(−1 + i 0)= −2 , |
||||||||
cos |
3 |
3 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
k = 2, |
w |
|
= 2 |
|
cos |
π + 4π |
+ i sin |
π+ 4π |
= 2 |
|
1 |
− i |
3 |
|
=1 − i 3 . |
||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4.Обыкновенные дифференциальные уравнения
Взадачах № 91-120 при отыскании общего решения дифференциального уравнения первого порядка следует использовать литературу [2, т. 2, гл. VI, § 3, 4, с. 161 - 166; 4, п. 12.5-12.8, с. 169-277].
Перед решением задач нужно определить тип уравнения и метод решения, при этом можно руководствоваться табл.1.
Пример. Найти общее решение уравнения |
y′ |
= y . |
|
|
|||||||||
sinx |
|
|
|||||||||||
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
Так как |
y′ = |
, |
то получаем уравнение |
|
= y sinx |
– |
|||||||
|
|
dx |
|||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
уравнение первого типа. Разделяем переменные |
|
|
|
|
|||||||||
|
dy = sinx dx, ∫ dy = ∫sinxdx, ln |
|
y |
|
= −cosx + c, |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
y |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где c – произвольная постоянная. Можно оставить решение в таком виде или выразить y в явном виде
17
y = e− cos x+c .
y
Пример. Найти общее решение уравнения y′ = ex + xy .
Это уравнение второго типа, однородное, следовательно,
делаем подстановку |
y |
= u, y = ux, y′ = u′x + u . |
Уравнение примет |
|||||
вид |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eu |
|
|
u′x + u = eu + u, |
du |
x = eu , |
du |
= |
. |
|||
dx |
dx |
|
||||||
|
|
|
|
|
x |
|||
Получили уравнение с разделяющимися переменными
du |
= |
dx |
, |
∫ |
du |
= ∫ |
dx |
, − e−u = ln |
|
x |
|
+ lnc . |
|
|
|
||||||||||||
eu |
x |
eu |
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь мы обозначили произвольную постоянную не c , а lnc для удобства записи
|
|
|
|
− e−u = ln |
|
|
|
|
, u = y − e− |
y |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
cx |
|
x |
= ln |
|
cx |
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Можно оставить решение в таком виде, а можно y |
|||||||||||||||||||||||||
явно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
e− |
|
= −ln |
|
cx |
|
, e− |
|
= ln |
1 |
|
, |
− y = lnln |
|
|
1 |
|
, y = −xlnln |
||||||||
x |
x |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cx |
|
x |
|
cx |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
выразить
cx1 .
Пример. Найти общее решение уравнения y′ |
+ 2y = x . |
|
||
Это линейное уравнение |
P(x)= 2, Q(x)= x |
(табл.1). Делаем |
||
подстановку |
y = u(x) v(x), |
y′ = u′v + uv′. |
Подставив |
эти |
соотношения в исходное уравнение, получаем u′v + uv′ + 2uv = x . Одну из функций находим из уравнения
|
|
uv′ + 2uv = 0, |
dv + 2v = 0 , |
|
||||
|
|
|
dx |
|
||||
тогда вторая функция u определяется из уравнения u′v = x . |
|
|||||||
Решая первое уравнение, находим функцию v , то есть |
|
|||||||
dv = −2v, |
dv |
= −2dx, ∫ dv = −∫ 2dx, ln |
|
v |
|
= −2x, v = e−2x |
, |
|
|
|
|||||||
dx |
v |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||