Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

K_r__2_dlya_GF_FNPS_MMF.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

641.66 Кб

Скачать

☆

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

« Кузбасский государственный технический университет имени Т. Ф. Горбачева»

Кафедра математики

МАТЕМАТИКА

Контрольная работа № 2 и методические указания для студентов 1 курса (2 семестр)

специальности 130400 «Горное дело», специализаций 130401, 130403, 130404, 130406, 130409 заочной формы обучения

Составители А. И. Бабин Е. А. Волкова Е. В. Прейс

Утверждены на заседании кафедры Протокол № 7 от 08. 02. 2012 г. Рекомендованы к печати учебно–методической комиссией по направлению подготовки специалистов 130400 «Горное дело»

Протокол № от .

. 2012 г.

Электронная копия находится в библиотеке КузГТУ

Кемерово 2012

Контрольная работа № 2 составлена в соответствии с программой курса «Математика» для студентов специальности 130400 «Горное дело» заочной формы обучения.

В составлении работы и методических указаний к ней принимали участие преподаватели: В. М. Волков, В. А. Гоголин, И. А. Ермакова.

Номера задач контрольной работы студент должен выбрать по таблице «Выбор номеров контрольных задач» следующим образом:

найти строку, соответствующую первой букве фамилии;

найти столбец, соответствующий последней цифре шифра;

на пересечении найденных строки и столбца взять номера задач контрольной работы № 2.

Контрольная работа, выполненная не по своему варианту, возвращается непроверенной.

ПРОГРАММА 1 КУРСА (2 СЕМЕСТР )

Рабочая программа дисциплины «Математика» составлена в соответствии с ФГОС ВПО и примерной ООП подготовки бакалавров специальности 130400 «Горное дело», специализаций

130401, 130403, 130404, 130406, 130409 заочной формы обучения

1. Неопределённый интеграл

1.1.Первообразная (неопределённый интеграл), её свойства. Таблица интегралов.

1.2.Непосредственное интегрирование. Интегрирование по частям и подстановкой.

1.3.Использование таблиц (справочников) неопределённых интегралов.

2.Определённый интеграл

2.1.Задачи, приводящиеся к понятию определённого

интеграла.

2.2.Определённый интеграл как предел интегральных сумм.

2.3.Основные свойства определённого интеграла.

2.4.Производная интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.

Выбор номеров задач контрольной работы

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
А,В,Д	1 37	2 38 76	3 39 77	4 40 78	5 41 79	6 42 80	7 43 81	8 44 82	9 45 83 98	10 46 84
	75 120	91 122	92 123	93 124	94 125	95 126	96 127	97 128	129	99 130
	121	12 48
Б,Е,З	11 47	12 48	13 49	14 50	15 51	16 52	17 53	18 54	19 55	20 56
	85 100	86 101	87 102	88 103	89 104	90 105	91 106	92 107	93 108 139	64 109
	131	132	133	134	135	136	137	138		140
Г,Ж,	21 57 65	22 58 66	23 59 67	24 30 68	25 31 69	26 32 70	27 33 71	28 34 72	29 35 73	30 36 74
И,Л	110	111	112	113	114	115	116	117	118	119
К	1 38	2 39 76	3 40 77	4 41 78	5 42 79	6 43 80	7 44 81	8 45 82	9 46 83 98	10 47 84
	75 120	91 142	92 143	93 144	94 145	95 146	96 147	97 148	149	99 150
	141	12 48
М,Н,О	11 49	12 48	13 50	14 51	15 52	16 53	17 54	18 55	19 56	20 57
	85 100	86 101	87 102	88 103	89 104	90 105	61 106	62 107	63 108 128	64 109
	151	121	122	123	124	125	126	127		129
П,Х,Ц,	21 58 65	22 59 66	23 60 67	24 60 68	25 39 69	26 31 70	27 32 71	28 33 72	29 34 73	30 35 74
Ш	110	117	112	113	114	115	116	117	118	119
С,У,Ё,	1 36 75	2 37 76	3 38 77	4 40 78	5 41 79	6 42 80	7 43 81	8 44	9 45 83 98	10 46 84
Ы,Й	91 130	92 131	93 132	94 133	95 134	96 135	97 136	82 120	138	99 139
		22 58						137
Р,Т,Ф	21 57	22 58	23 59	24 60	25 36	26 31	27 32	28 33	29 34	30 35
	65 110	66 111	67 112	68 113	69 114	70 115	71 116	72 117	73 118 148	74 119
	140	141	142	143	144	145	146	147		149
Ч,Щ,Э	11 47	12 48	13 49	14 50	15 51	16 52	17 53	18 54	19 55	20 56
,Ю,Я	85 100	86 101	87 102	88 103	89 104	90 105	61 106	62 107	63 108 128	64 109
	150	121	122	123	124	125	126	127		129

3.Теория функций комплексного переменного

3.1.Комплексные числа и действия над ними.

3.2.Алгебраические действия над комплексными числами.

4.Обыкновенные дифференциальные уравнения

4.1.Задачи, приводящиеся к дифференциальным уравнениям. Основные определения.

4.2.Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

4.3.Интегрирование простейших типов дифференциальных уравнений: с разделяющимися переменными, однородных и линейных.

4.4.Дифференциальные уравнения второго порядка. Задача Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка.

4.5.Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

4.6.Применение дифференциальных уравнений для решения задач физики и механики.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

Для вычисления неопределённых интегралов (№ 1-30) необходимо проработать литературу: [2, гл.I, §1 - §7, с. 8-54; 4, п. 6, с. 148 - 168], где содержатся практические рекомендации по данной теме.

Для выполнения задания 1-30 (пункт а) нужно из таблицы интегралов выбрать такой, к которому можно свести данный интеграл.

Например, при вычислении

		dx		= ∫(5x + 2)	−	5
∫ 3	(		5			3dx
		5x + 2
		)

используем табличный интеграл

un+1

∫undu = n + 1 + c .

Согласно этой формулы подводим под знак дифференциала

основание степени. Так как																d(5x + 2)= 5dx , то								умножим и
разделим интеграл на 5, то есть
			dx							−	5			1			−	5				1			−	5
			dx							−				1			−					1			−
∫	3	(	5x + 2 5			= ∫(5x + 2)					3dx =			5 ∫(5x	+ 2)				3 5dx = 5				∫(5x + 2)			3d(5x + 2)=
		(	)
						−		5	+1						2
						−			+1
=	1		(5x + 2) 3						+ c = −			3	(5x + 2)−			+ c = −						3		+ c .
	1											3			3							3
															3
	5		−	5	+		1				10									103	(	5x	+ 2 2
			3				1														(		)
			3
		Интеграл							∫x e3x 2 −1dx					сводится				к		табличному				∫eudu = eu + c

путём подведения под знак дифференциала показателя степени d(3x2 − 1)= 6xdx. Таким образом

−1d(3x

2 − 1)

∫x e3x

−1dx = 6 ∫e3x

−1

6xdx =

∫e3x

= 6 e3x

−1 + c .

В примере

∫

3cosx dx

используем формулу

∫ du

= ln

+ c , где

2 + sinx

под знаком дифференциала находится знаменатель дроби. Так

как d(2 + sinx)= cosxdx , то

3∫	cosxdx	= 3∫	d(2 + sinx)	= 3 ln	2 + sinx	+ c.

	2 + sinx		2 + sinx

При вычислении интегралов в пункте б) применяются методы подстановки и интегрирования по частям, то есть по формуле

∫udv = uv − ∫ vdu мы от исходного интеграла							∫udv переходим к
более простому ∫ vdu .
Пример. ∫x arctgxdx = ∫arctgx xdx , то есть возьмём
		dx
u = arctgx du =				,
u = arctgx du =		+ x	2	,
	1	+ x
						2
					x	2
dv	= xdx v = ∫dv	= ∫xdx =			x		.
dv	= xdx v = ∫dv	= ∫xdx =					.
			2

(здесь при нахождении v константу c полагаем равной 0). Получим

∫x arctgxdx = ∫arctgx

xdx =

arctgx −

∫x2

1 + x2

Возьмём

∫x2

отдельно

+ x2

∫x2

+ 1

− 1

= x − arctgx + c

∫

dx =

∫

−

dx = ∫dx − ∫

+ x2

x2 +

+ x2

Итак

∫x arctgxdx =

arctgx −

(x − arctgx)+ c .

Пример. Найти

∫x e−3xdx . Пусть

u = x du = dx,

−3x

d(− 3x)= −

dv = e

dx v = ∫e

= −

∫e

−3x

∫x e

dx = x

−

− ∫

−

dx = −

∫e

dx =

xe−3x

e−3x

+ c .

= −

−

Пример. При вычислении интеграла I = ∫

2 +

x + 1 dx сделаем

x + 3

подстановку u =

x + 1 u2 = x + 1 x = u2 − 1 dx = 2udu,

x + 3 = u2 − 1 + 3 = u2 + 2 . Получим

2u + u2

I = ∫

2 +

x + 1 dx =

∫

2 + u 2udu = 2∫

du .

2u + u2

x + 3

u2 + 2

Дробь

неправильная

(степень

числителя

не

меньше

u2 + 2

степени знаменателя). Выделим целую часть

(u2 + 2)− 2 + 2u

= 1 −

2 +

u2 + 2

2 u2 + 2

Итак

I =

2∫

2u + u2

∫du −

∫

2du

+ ∫

2udu

−

arctg

u2 + 2

du = 2

u2 +

= 2u

u2 + 2

+ 2 ln(u2 + 2)+ c = 2 x + 1 − 4

arctg

x + 1 + 2 ln x + 3 + c.

Здесь ∫du и ∫

табличные, а

u2 +

d(u2 + 2)

∫

2udu

= ∫

= ln(u2 + 2)+ c .

u2 + 2

Для нахождения площадей плоских фигур и объёмов тел вращения в задачах № 31-60 рекомендуется изучить литературу

[2, гл. II, § 2, с. 67 - 68; 4, п. 7.11 – 7.12, с. 185-190].

Пример. Найти площади частей, на которые круг x2 + y2 = 12 делится параболой y = x2 .

Сделаем схематический чертёж (рис.1) и найдём точки пересечения этих линий

					2		+ y		2	= 12					2	= 12 − y			2
			x				+ y			= 12			x			= 12 − y				12	− y2 = y
								2							2					12	− y2 = y
						= x		2							2	= y
			y			= x							x			= y
			y2 + y − 12 = 0 y = − 1 ± 1 + 48 = − 1 ± 7																			, y = 3.
																		2			2
	В		точке						пересечения								x2 = 3 x1 = −				3, x2 =				3 .	Площадь
меньшей части
S1 =		3	12			− x2 dx −					3	x2dx =			x		12	− x		2 + 6 arcsin		x			3		x3	3
																												3
																										−		=
		∫									∫					2						12				−	3	=
	−	3								−	3					2						12			−	3	3	− 3
	−	3								−	3														−	3		− 3
=	3	12 − 3 + 6 arcsin										3				−	3	12		− 3 − 6 arcsin				3		−
=	2	12 − 3 + 6 arcsin										12	−			−	2	12		− 3 − 6 arcsin						−
	2											12					2						12
−	3	3	−	−		3 3				= 3 3		+ 12		π		− 2 3 = 3 + 2π.
−	3		−				3			= 3 3		+ 12		6		− 2 3 = 3 + 2π.
	3						3							6

y =x2 y

y = x

x2 + y2 = 12

Рис.1

Рис.2

Площадь большей части

S2 = πr2 − S1 = π 12 − 3 − 2π = 10π − 3 .

Пример. Найти объём тела, образованного вращением

вокруг

оси

фигуры,

ограниченной

линиями

y = x,

y = x

sinx,

0 ≤ x ≤ π .

Сделаем схематический чертёж (рис.2) и найдём точки

пересечения этих линий

y = x

x − x

sinx = 0, x1 = 0, 1 −

sinx

= 0, sinx = 1, x2

= π .

y = x

sinx

V = V

− V

2dx

= π∫ y

− π∫ y2dx =

π∫x2dx − π∫x2 sinxdx =

− 2xsinx +

(

− 2

= π x

cosx

= π

− π + 2 ,

)

∫x2 sinxdx = 2xsinx −(x2 − 2)cosx.

При нахождении длины дуги в задачах № 31-60 и массы неоднородной линии в задачах № 61-90 следует помнить, что дифференциал длины дуги выражается различными формулами

[2, гл. II, § 2.2, с. 68; 4, п. 7.10.11, с. 184 - 185].

1) ds = 1 + (y′x )2 dx , если линия задана в декартовых координатах;

2) ds =

(x′t )2 + (y′t )2 dt ,

если

линия

задана

параметрически

x = x(t), y = y(t);

3) ds =

r2 + (r′(θ))2 dθ,

если

линия

задана

полярных

координатах r = r(θ).

Пример. Найти длину дуги кривой r = cos2 θ

0 ≤ θ ≤

π .

Вычисляем

ds =

r2 + (r′(θ))

dθ, rθ′ = 2cos

− sin

+ (r′(θ))

= cos4

+ cos2

sin2

= cos2

+ sin2

cos2

= cos2

ds = cos2 θ2dθ = cos θ2 dθ,

ππ

2	θ	dθ = 2sin	θ	2		π		= 2	2	=	2 .

S = ∫cos					= 2 sin		− sin0
0	2		2	0		4			2

Пример. Найти массу участка линии

x = a(t −sint),

L : 0 ≤ t ≤ 2π, если плотность γ = 3y .

y = a(1 −cost),

m = ∫γ ds .

Найдём ds =

(x′t )2 + (y′t )2 dt ,

x′t

= a(1 − cos t), y′t = a sin t ,

ds =

a2 (1 − cost)2 + a2 sin2 t dt =

= a

1 − 2cost + cos2 t + sin2 t dt =

= a

2 − 2cost dt = a 2

2sin2 t

dt = 2a sin t

dt .

2π

m =

∫ 3a(1

− cost) 2a sin

dt = 6a2

∫ 2sin2

sin

dt = 12a2

∫ sin3

dt =

= 12a2	− 2cos	t	+	1	2 cos3	t	2π	= 12a	2	2	−	2	+ 2 −	2	= 32a2 .


		2		3								3
						2	0							3

3.Теория функций комплексного переменного

3.1.Комплексные числа и действия над ними.

Более подробный теоретический материал и практические рекомендации по данной теме ( № 61-90) можно найти, например,

в следующих учебниках: [1, т. 1, гл. VI, § 1, 2, с. 134 - 137; 3, т.2, § 5.3, с. 239-244].

Комплексными числами называются числа вида z = x + i y , где i2 = -1, x, y – действительные числа, x = Re z – действительная часть, y = Im z – мнимая часть комплексного числа.

По определению,	два	комплексных		числа:	z1 = x1 + i y1	и
z2 = x2 + i y2 – равны тогда и только тогда, когда и y1 = y2 .
Комплексное число		z	называется		сопряженным
комплексному числу	z , если Re z = Re z,			Im z = -Im z . Другими
словами, если z = x + i y , то		z = x − i y .
Всякому комплексному		числу	x + i y	можно поставить		в

соответствие единственную точку плоскости M(x, y) и обратно,

всякую точку M(x, y) плоскости XOY	можно рассматривать
как геометрический образ единственного	комплексного числа
x + i y .

x + i y ,

y	Для сокращения	вместо “точка,
	соответствующая	комплексному

Мчислу x + i y ”, говорят просто “точка

	x + i y ”.	При	этом множество всех
	действительных чисел изображается
0	х точками	оси абсцисс,		которая
Рисунок 1	поэтому	называется действительной
	осью, множество чисто мнимых
	чисел	i y	точками оси	ординат,
	называемой		мнимой	осью.
	Заметим, что одна точка мнимой
	оси, а именно начало координат,

изображает действительное число нуль. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

Внекоторых случаях удобно считать геометрическим

изображением числа

JJJJG

O M {x, y}.

0 z3

5 x

-2 z2

-5 z1

Рисунок 2

x + i y радиус-вектор точки M(x, y) –

Пример 1. Построить точки

z1 = 5 − 5i , z2 = −2i , z3 = 5 .

В дальнейшем, наряду с представлением комплексных чисел в декартовых координатах, полезно иметь их представление в обобщенных полярных координатах.

Рассмотрим число

которому	на плоскости
соответствует	точка M(x, y) .

Ее координаты в полярной системе координат (ρ, ϕ).

y	Тогда		x = ρ cos ϕ,
y	M(x; y)		y = ρ sin ϕ.
	M(x; y)
ρ	z = x + i y =ρ cos ϕ+ i ρ sin ϕ =
φ	= ρ(cos ϕ+ i sin ϕ).
φ		Полярный радиус
0	x	Полярный радиус
0	x	JJJG	называется модулем
Рисунок 3	ρ =	OM	называется модулем
	комплексного числа и
	обозначается			z	= ρ.
	обозначается			z	= ρ.
Полярный угол	ϕ называется	аргументом комплексного
числа и обозначается	ϕ = Arg z . Тогда

z = ρ(cos ϕ+ i sin ϕ)= z (cos Arg z + i sin Arg z).

Эта форма называется тригонометрической формой

комплексного числа.

Модуль комплексного числа определяется однозначно: z = x2 + y2 .

Аргумент комплексного числа определяется с точностью до

слагаемого, кратного	2π. Главным	значением	аргумента
называется значение, заключенное в		интервале	(−π, π].
Обозначается оно arg z . Таким образом,		−π < arg z ≤ π.

Очевидно, Arg z = arg z + 2k π.

Главное значение аргумента определяется однозначно.

Так как tg arg z = y ,
		x		(x, y) I, IV четвертям,
	y	,	если
arctg x
	y			(x, y) II четверти,
		+ π,	если
arg z = arctg	x
				(x, y) III четверти.
	y	− π,	если
arctg	x

Тригонометрическая форма комплексного числа будет иметь вид

z = z (cos(arg z + 2k π)+ i sin(arg z + 2k π)).

Пример 2.

комплексное число

z 1

-1

Написать в тригонометрической форме z =1 + i .

Решение. z = 1 +1 = 2, tg ϕ = −1,

arg z = arctg(−1)+ π = − π4 + π = 43 π.

z =	2		3			3
		cos		4	π + 2k π	+ i sin	4	π + 2k π .
0

Рисунок 4
Пусть	z = x + i y =	z	(cos Arg z + i sin Arg z). Используя формулу
Пусть	z = x + i y =	z	(cos Arg z + i sin Arg z). Используя формулу
Эйлера	cos ϕ + i sin ϕ = ei ϕ ,				получаем	так	называемую
показательную форму записи комплексного числа:
			z =	z	ei Arg z .
			z =	z	ei Arg z .

Пример 3. Представить в показательной форме комплексное

число z = −1 − i .		Решение
	y	Решение
-1	0		z	= 1 +1 =		2,			tg ϕ=1,
			z	= 1 +1 =		2,			tg ϕ=1,
					π				3
	x				π				3
				arg z =	4	− π = − 4 π,
z	-1			−1 − i =	2 e		−	3	πi+2k πi	.
							−		πi+2k πi
							4

Рисунок 5

Пример 4. Вычислить eπi .

Решение. По формуле Эйлера eπi = cos π + i sin π = −1 .

3.2. Алгебраические действия над комплексными числами.

Для выполнения алгебраических действий над комплексными числами (№ 91-120) необходимо проработать литературу: [1, т. 1, гл. VI, § 3, с. 137, 138; 3, т.2, § 5.3, с. 239-244],

где содержатся теоретический материал и практические рекомендации по данной теме.

Сложение и умножение комплексных чисел производится по правилам сложения и умножения алгебраических многочленов с учетом i i = −1. При записи результата следует отделить действительную часть от мнимой, т. е. собрать отдельно члены, содержащие множитель i , и члены, не содержащие множитель i :

(x1 + i y1 )+ (x2 + i y2 )= (x1 + x2 )+ i(y1 + y2 ),

(x1 + i y1 ) (x2 + i y2 )= (x1 x2 − y1 y2 )+ i(x1 y2 + y1 x2 ),

(x1 + i y1 )−(x2 + i y2 )= (x1 − x2 )+ i(y1 − y2 ).

В частности, z z = z 2 . Операции сложения и вычитания

сводятся к сложению и вычитанию векторов, изображающих эти числа. Отсюда расстояние между точками ρ(z1, z2 )= z1 − z2 .

z1+z2

z1–z2

Рисунок 6

Пример 5.

z − z0 = R – уравнение окружности с центром в точке

и радиусом равным R .

Деление на комплексное число, отличное от нуля, определяется как действие, обратное умножению.

Для представления частного в виде Re z + i Im z

следует провести простые преобразования, показанные на следующем примере.

Пример 6.	3 − i		(3 − i)(1 − 2i)		3 − 6i − i − 2		1	− 7i 1			7
		=		=	1 + 4	=		5	= 5	−	5 i .
	1 + 2i		(1 + 2i)(1 − 2i)

Для модуля и аргумента произведения и частного справедливы следующие утверждения:

1. z1 z2 = z1 z2 , Arg z1 z2 = Arg z1 + Arg z2 .

Пример 7. Найти модуль и аргумент произведения z i .

Решение.	z i	=	z	π
				π
				, Arg z i = Arg z +	2	+ 2k π .
					2

Таким образом, умножение на i соответствует повороту вектора z на угол;

Arg

= Arg z1 − Arg z2 .

Пусть z = z (cos Arg z + i sin Arg z).

Тогда z2 = z z = z 2 (cos2Arg z + i sin2 Arg z).

Можно доказать методом полной математической индукции, что

для любого целого	n > 0 : zn =		z		n (cos n Arg z + i sin n Arg z)

(формула Муавра). Формула справедлива и для целых отрицательных n .

Пример 8. Вычислить ( 3 − i)5 .

Решение

3 − i

3 +1 = 2,

arg(

3 − i)= arctg

−

= −

-1

Рисунок 7

3 − i =

−

+ i sin

−

+ 2k

cos

2k π

π ,

( 3 − i)

= 25

−

π+

π+10k

cos

10k π

+ i sin −

= −16 3 −16i .

= 32 −

− i

Корнем n -й степени из комплексного числа называется такое число w , для которого wn = z .

Используя формулу Муавра, получим

	w	= n	z	,	Arg w = Arg z = arg z + 2k π, k = 0, 1, 2, ... , n −1.
	w	= n	z	,	Arg w = Arg z = arg z + 2k π, k = 0, 1, 2, ... , n −1.
					n	n	аргументы будут отличаться от
					n	n
		Для			других значений	k
полученных на число кратное							2π, и, следовательно, получатся

значения корня, совпадающие с рассмотренными. Итак, корень n -й степени из комплексного числа имеет n различных значений.

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.05.2015291.35 Кб37Kursovaya_rabota_GOTOVAYa_PEChATAT.docx
#
10.05.2015886.89 Кб44kursovik.docx
#
10.05.201571.89 Кб5Kursovik_raschetnaya_chast_33_33_33_33_33 (1).docx
#
09.11.2019379.63 Кб21Kursovoy fff.docx
#
10.05.20151.01 Mб11kusurgasheva_l_v_mirovaya_ekonomika (1).pdf
#
10.05.2015641.66 Кб12K_r__2_dlya_GF_FNPS_MMF.pdf
#
10.05.2015462.6 Кб12laba_2.docx
#
10.05.20151.49 Mб267lab_rab_6_TRACE_MODE.doc
#
10.05.20151.47 Mб13Lechim_maslozher.docx
#
10.05.201551.74 Кб7LEGO online.docx
#
10.05.20151.69 Mб46Lektsia_1_2.docx