Лекции термех
.pdf
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВОЗЛЕ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ 34 (пример решения задач)
Пример. Определить собственную частоту малых колебаний однородного жёсткого стержня длиной l, если его масса равна 3 кг, коэффициент жёсткости 400 Н/м, точка А делит стержень пополам.
Решение: Составим уравнение Lagrange'a II рода. Пусть sA – обобщённая координата
вертикальное перемещение точки А, тогда кинетическая энергия стержня будет определяться по формуле
|
I ω2 |
|
|
m l 2 |
|
|
2v A |
|
|
|
I O ωO A |
|
1 |
|
|
m l2 |
|
|
4v2A |
|
|
/ |
2 |
|
|||||||
E= |
O O A |
, где IO= |
|
;ωOA= |
|
|
|
|
. Тогда |
E= |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=2 |
( sA) |
|
|
||||||
3 |
|
l |
2 |
2 |
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
l |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂ E |
∂ E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
/ / |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Левая часть уравнения имеет вид |
|
|
( |
∂ q/ )− |
|
=4 sA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
d t |
∂ q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
На систему действуют две потенциальных силы с общей энергией |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Π=m g sA+0,5k [(Δ+ sA)2− |
2]=30 sA+ 200[(Δ+ sA)2− |
2], |
|
откуда |
|
∂ Π |
=30+ 400 ( |
||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ s A |
|
|
∂ Π |
|||
– длина пружины в положении равновесия, которая определяется из равенства |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂ s A |
||||||||||||||||||||||||||||||
при условии, что s |
|
= 0. Тогда |
= – 30/400 = – 3/40 и отсюда |
|
∂ Π |
=400 sA |
|
|
|||||||||||||||||||||||
A |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ s A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
+s A)
=0
Дифференциальное уравнение малых колебаний имеет вид 4 s/A/ + 400 sA=0 s/A/ +100 sA=0
Отсюда получаем собственную частоту колебаний k=√100=10
Ответ: k =10 1/c