Лекции термех

ДИНАМИКА СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК

27

(продолжение)

1

Кинетическая энергия системы точек равна

1 ∑ mk vk2 (11) E=

O

2

сумме кинетических энергий точек

(10) E=

2

∑ I k

ωk

2

k

k

Теорема König'а. Кинетическая энергия твердого тела равна

2

I C ω

2

сумме кинетической энергии центра масс при поступательном движении (12)

E=

m vC

+

и кинетической энергией вращательного движения тела вокруг центра масс

2

2

Теорема. Изменение кинетической энергии системы точек при

(13) E II − E I =∑ Aki +∑ Ake

перемещении её из одного положения в другое равно сумме работ

на этом перемещении всех внутренних и внешних сил,

k

k

приложенных к точкам системы

ПРИМЕР Дано: m1 = 1, m2 = 2, m3 = 2 кг, s = 2 м. Найти скорость и

ускорение тела 3 после перемещения на расстояние s.

Решение

m v2

I O ω22

E1=

m1 vC2

I C ω12

E= E

+ E

+ E

E3=

3

3 =v32 E2=

+

3

2

2

2

1

2

v3

2 E2=

v32

v3

I O=

m2 R22

= R22

ω2=

v A=v3 vC =ω1 CP=ω1 R1

=

2

R2

2

1 v32

R12 v23

3 v23

2

I

=

m1 R12

=

R12

ω1=

v3

E1=

+

=

27 v32

2

C

2

2

2 R1

2 4

2 2 4 R2

16

E=

16

=1,688 v3

1

Предположим, что тело 1 движется вниз

AG 3=−G3 S 3=−2 10 2=−40

AG1

=G1 SC cos

(600)=5 SC =

5 S

3

=5

A=−35

E II = A

27 v23

=35 v3=4,554

16

2

2=17,5 S

A= A

+ A

G3

=(20−2,5) S

3

=17,5 S

3

1,688 v

3

2 v a

=10,370 v

a

=5,185

G1

3

3

3

3

3

ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ДИНАМИКИ

28

ПРИНЦИП D'ALEMBERT 'a (1743 г)

Сила инерции – это сила, которая определяется по следующим формулам

Φ=m a

Φ=−m a

Принцип D'Alembert'а (для точки). При движении материальной точки

активные силы, реакции связей и сила инерции точки образуют равновесную

F + R+ Φ=0

e

e

∑ F k

+∑ Rk +∑

Φk =0

∑ M O ( F k)+∑ M O ( Rk )+ ∑ M O (Φk )=0

k

k

k

k

k

k

Момент сил инерции в случае плоского вращательного движения определяется

по формуле (знак «-» указывает направление, противоположное ускорению )

∑ M O (Φk)=−ε I O

ПРИМЕР. Тело 1 скользит по гладкой горизонтальной

k

плоскости под действием силы тяжести тела 3, при этом

известно что m1 = m3 = 3, m2

= 1 кг, L = 1, r2 = 0,1м, μТР = 0,1 .

Определить реакции

блока

О, реакцию

стола, натяжение

Φ1

∑ M O=r T 1−r T 2+10 a I O=0 ; I O=0,5 m2 r22=0,005

k

a=4,154 ; T 2=30−3 a=17,539 ; T 1=3+ 3 a=13,461 ;

M O (Φ)

Y

O

=10+T

=27,539 ; X

O

=T

=13,461

2

1

Φ3

Проверка (теорема об изменении кинетической энергии)

ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ LAGRANGE'a

29

степеней свободы системы.

r

Пример 1. Рычаг: положение определяется заданием одной величины – x=r cos(φ )

φ

углом наклона φ ; кривошипно-ползунный механизм определяется углом

поворота кривошипа φ .

Возможные (виртуальные) перемещения δs несвободной механической

y=r sin(φ )

системы – это воображаемые бесконечно малые перемещения, которые

допускаются в данный момент наложенными на систему связями.

Пример 2. Определим величину δs точек А и В для кривошипно-

ползунного механизма.

δ sA

δ φ

δ sA=OA δ φOA

Решение. v

A

=OA ω

v

A

=

ωOA=

OA

OA

δ t

δ t

cos(α)

δ sB

cos(α)

OA cos(α)

vB cos(β)=v A cos(α) vB= cos(β)

vA v B=

δ sB= cos(β) δ sA=

cos(β)

δ sA

δ t

Возможная работа δA приложенной силы F – это элементарная работа,

δ A= F δ s cos( γ)

которую могла бы совершить сила при возможном перемещении δs:

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ

31

(продолжение)

δ A

=G

δ s

=20 δ s

3

δ A =−G δ s

cos(600)=−5 δ s

C

=−2,5 δ s

3

G3

3

3

G1

1

C

Найдём виртуальные работы сил инерции ФС, Ф3.

δ AΦ 3=−Φ3 δ s3=−2 a3 δ s3

δ AΦ C =−ΦC δ sC =

−m1 aC δ s3

=−1

a3

δ s3

=

−a3 δ s3

2

4

2

2

Найдём виртуальные работы пар сил инерции с моментом M2 и M1

a

3

m

r2

δ AM2

=−M2 δφ2

Найдём M2.и δφ2

M 2=ε2 I O=

2

2

=a3 r2

r2

2

v3=r2 ω2 δ s3=r

2 δφ 2

δφ2=

δ s3

δ AM2=−

a

3 r2δ s3

=−a3 δ s3

r2

r2

m r2

a

r

δ AM1=−M 1 δφ1

a

3

1

Найдём M1.и δφ1

M

=ε I

C

=

1 1

=

3

2 r1

2

4

1

1

a δ s

v3=vA=2 r1 ω1 δ s3=2 r1 δφ1 δφ1=

δ s3

a r δ s

δ AM1=−

3

1

3

=−

3

3

2 r1

4 2 r1

8

УРАВНЕНИЕ LAGRANGE'a II РОДА

32

Возможная работа δ А всех сил, которые действуют на систему тел (с одной

(1)

δ A=Q δ q

степенью свободы) может быть всегда записана в виде равенства

координату q.

d ∂ E

∂ E

Общее уравнение динамики можно переписать в форме уравнения

(2) d t (∂ q/

)− ∂ q =Q

Lagrange'a II рода

Решение: обобщённая координата q = S3. Кинетическая энергия была определена

ранее E=1,688 v32=1,688 ( S 3/ )2

Возможная работа была определена

следующим образом: δ A=17,5 δ S3 , откуда Q=17,5 . Вычислим

∂ E

/

d ∂ E

/ /

∂ E

производные

=3,375 S3

(

)=3,375 S3

=3,375 a3

=0 . Тогда

∂ q/

d t

∂ q/

∂ q

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРА

33

Удар – это явление, при котором под действием определенных (ударных) сил

скорости точек

тела за очень малый промежуток времени τ (время удара) изменяется на конечную величину.

Удар называется центральным, если нормаль к поверхности в точке его

u

касания с плитой проходит через центр масс тела.

Удар называется прямым, если скорость центра масс в начале удара была

направлена по нормали к поверхности падения. В противном случае удар

Пусть v, u – начальная и конечная скорости при ударе, тогда

v

τ

ср

pуд – ударный импульс; Fуд – ударные силы

(1) m (u− v )=∑ pk = p уд (2) p уд=∫ F уд d τ =F уд τ

Теорема Кельвина.

0

равна скалярному

Работа ударных сил

(3)

Aуд=0,5 p уд (u+ v )

произведению ударного

импульса на векторную

полусумму

начальной и конечной скорости при ударе:

Коэффициент восстановления при ударе – это величина k, которая

un

tg α

(4)

k=

h

равна отношению модуля нормальной составляющей относительной

=

=

√H

скорости тела в конце удара к её величине в начале удара, где h

– высота подъёмаvn

tg β

после удара, H – высота падения, α – угол падения, β – угол отражения.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ УДАР ДВУХ ТЕЛ

m1 v1+ m2 v2=m1 u1 + m2 u2

Закон сохранения количества движения: общее количество

(5)

движения до удара и после равно между собой:

(6)

k=

u2−u1

Коэффициент восстановления при ударе

v −v

2

1

Теорема Карно. Потеря кинетической энергии в случае мгновенного наложения связей и

отсутствия ударного трения равна кинетической энергии от потерянной скорости точки:

1−k

[

m

m

−u2)2]

(7) E I − E II =

1

(v1−u1)2+

2

(v2

1+ k

2

2

(1)

A( M1 M 2)=U 2−U1

где U – функция, дифференциал

d U =F x dx +F y dy+F z dz

которой равен элементарной работе

(2)

ΠM =AM O=UO −U M =−U M

(3) A( M1 M 2)=U 2−U1=Π1−Π2

Примеры: потенциальная энергия силы тяжести

h1, h2 – начальная и конечная высота,

F = mg и силы упругости F = - kx

k – коэффициент жёсткости пружины,

(4)

Π

G

=m g (h −h

) (5) Π

У

=0,5 k [(Δ+ x)2− 2 ]

– длина пружины в статическом равновесии;

1 2

x – деформации пружины

Пусть на систему тел действует потенциальная сила,

сила вязкого сопротивления, внешняя активная сила.

d ∂ E

∂ E

∂Π

Тогда уравнение Lagrange'a имеет вид (6)

(6)

(∂ q/ )−

=− ∂ q +QB+QC

d t

∂ q

В случае малых колебаний выполняются равенства (7)

QB, QC – обобщённые внешняя сила и сила

(7)

∂ E/ =a q/

∂ E

=0 ∂ Π

=k q

QC =−μ q/

сопротивления

∂ q

∂ q

∂ q

q/ /+ 2 m1 q/ +m22 q= f

2 m1=μ/ a m22=k /a