- •6.2.5 Управление элементами интерфейса
- •6.2.6 Выделение областей
- •6.2.7 Изменение масштаба документа
- •6.2.8 Обновление экрана
- •6.2.9 Содержание инструментальных панелей подменю «математика»
- •6.3 Основные правила работы в среде «MathCad»
- •6.3.1 Удаление математических выражений
- •6.3.2 Копирование математических выражений
- •6.3.3 Перенос математических выражений
- •6.3.4 Вписывание в программу текстовых комментариев
- •6.5 Правила вычислений в среде «MathCad»
- •6.4.1 Построение графиков в декартовой системе координат
- •6.4.2 Построение графиков в полярной системе координат
- •6.4.3 Изменение формата графиков
- •6.4.4 Правила трассировки графиков
- •6.4.5 Правила просмотра участков двумерных графиков
- •Определение корней алгеброических уравнений
- •6.7.2 Определение корней трансцендентных уравнений
- •Вычисления по циклу
- •Обработка данных
- •6.8.1 Кусочно-линейная интерполяция
- •6.8.2 Сплайн-интерполяция
- •6.8.3 Экстраполяция
- •Символьные вычисления
- •6.10.1 Стратегии одномерной оптимизации
- •6.10.2 Локальные и глобальные экстремумы
- •6.10.3 Методы включения интервалов неопределенности
- •6.10.4 Критерии оптимизации
- •5 Методы поиска экстремума функции цели
- •6.10.6 Пример записи целевой функции при синтезе фильтров
- •Программирование в среде «mathcad»
- •7.1 Обзор инструкций
- •7.1.1 Инструкция Add line
- •7.1.2 Оператор внутреннего присваивания
- •7.1.3 Условная инструкция «if»
- •7.2.1 Особенность присвоения значения функции
- •7.2.2 Общие принципы задания операторов
6.10.4 Критерии оптимизации
Важная сторона оптимизации – это выбор критерия, по которому определяются свойства объекта и который позволяет количественно оценить какое из устройств данного класса является наилучшим.
Критерии в зависимости от назначения устройства могут быть самыми разными.
Так при проектировании фильтра критерий может относиться к его амплитудно-частной характеристике, минимуму потерь в полосе прозрачности и максимуму – в полосе заграждения.
В случае усилителя высокочастотных колебаний такой критерий может быть связан с получением максимального КПД, с соблюдением требования по нелинейным искажениям сигнала.
Несмотря на все разнообразие критериев их можно свести к единой математической записи – функции цели, которая в концентрированной форме отражает смысл решаемой задачи по оптимизации устройства – в наилучшем приближении его характеристик к требуемым согласно определенным признакам.
Все действия в такой программе оптимизации в конечном итоге направлены на получение экстремального значения функции цели – максимального или минимального, в зависимости от поставленной задачи.
Поскольку, как правило, качество устройства определяют несколько критериев (например, в приводимом выше примере с фильтром – максимум в одной полосе, минимум – в другой), то целевая функция является суммой определенного числа членов и по своему виду является взвешенно-аддитивно цифровой, отражающей требование минимального отличия желаемых (иногда идеальных) характеристик от реально получаемых. Составим в обобщенном виде функцию цели.
При исследовании в частотной области для целевой функции, определяемой K критериями, запишем:
(6.5)
где Фk – частная целевая функция для k-й характеристики;
ψkT – функция, определяющая требуемую k-ю частотную характеристику;
ψkP – функция, определяющая реально полученную k-ю частотную характеристику, зависящую от параметров устройства;
Vk – весовой множитель для k-й характеристики.
Мерой расхождения между требуемой и реальной характеристиками могут являться или минимум суммы квадратов уклонений, или минимаксный критерий. При них функция цели примет вид:
(6.6)
(6.7)
Кроме того возможен вариант, когда требуется получить максимальное отношение параметров устройства, например Ak к Bk. Тогда функция цели примет вид:
(6.8)
Путем определенной процедуры следует найти или минимальное при (6.6) и (6.7), или максимальное при (6.8) значение функции цели. Для определенности рассмотрим первый случай, связанный с получением минимального значения.
Разделим все параметры устройства, определяющие его реальную характеристику ψkP, на две группы: варьируемые (x1,x2,…,xn) и неизменные (y1,y2,…,ym). Соберем варьируемые параметры (их еще называют переменными) в вектор-столбец, который затем преобразуем в транспонированную матрицу:
(6.9)
Аналогичным образом поступим с постоянными или неизменными параметрами устройства:
(6.10)
Будем рассматривать вектор x как точку или элемент n-мерного действительного пространства Rn . Совокупность объектов x произвольного содержания (точки, векторы, функции и т.д.) составляют множество X, а сами объекты есть элементы этого множества. Совместив понятия точечного множества, составленного из точек х, и n-мерного пространства Rn , можно утверждать, что множество X представляет собой совокупность точек х в многомерном пространстве Rn .
В процессе поиска среди множества векторов x следует найти такой вектор Xопт в пространстве Rn , при котором функция цели (6.6) или (6.7) минимальна:
, где x Є Rn (6.11)
При этом на вектор х могут накладываться определенные ограничения. Точка xопт соответствует наилучшему в соответствии с выбранными критериями варианту проектируемого устройства. Поиск xопт относится к классу задач, объединяемых теорией нелинейного программирования. При этом вектор х во всех рассматриваемых ниже задачах ограничен определенным пространством Rn , что можно следующим образом представить в развернутом виде:
x1мин ≤ x1 ≤ x1макс, ……….xn.мин ≤ xn.макс (6.12)
При функции цели в виде (6.8) выражение (6.11) примет вид:
Fц (xопт,y)=maxF(x,y), где x Є Rn (6.13)
Перейдем к рассмотрению путей нахождения xопт.
13.