Контрольные вопросы

1. Дайте определения размещений, перестановок и сочетаний с повторениями и без повторений элементов.

2. Приведите формулы для вычисления соответствующих комбинаторных чисел.

3. Объясните порядок генерации комбинаций в каждом из алгоритмов.

Задание для лабораторной работы.

1. Для задания варианта определить теоретическое число комбинаций, удовлетворяющих условию или требуемых для решения задачи.

2. Написать программу, которая выполняет задание варианта с помощью генерации всех соответствующих комбинаций, используя комбинаторные алгоритмы. При этом:

1. во время генерации производить подсчет общего числа сгенерированных вариантов и число вариантов, удовлетворяющих условию задачи, вывести эти значения на экран;

2. если решение не единственное, то вывод комбинаций осуществлять в файл.

3. Формулу для расчета теоретического значения числа комбинаций, текст программы и результат её работы для контрольного примера оформить в отчёт.

Лабораторная работа № 5 Машинное представление графа

Цель работы: изучение способов аналитического представления графа, программная реализация представления графа с помощью списков инцидентности.

Теоретические сведения

Рассмотрим конечный граф G=(V, E), где |V|=n, |E|=m.

Способами аналитического представления графа являются:

1. Матрица инциденций.

Ориентированный граф задается прямоугольной матрицей B(nm), элементы которой определяются по правилу:

Кроме нерационального использования памяти (nm единиц) недостатком этого способа представления является неудобный доступ к информации. Например, для ответа на вопросы:

а) существует ли ребро (дуга) (v_i, v_j);

б) к каким вершинам ведут ребра (дуги) из вершины v_i

требуется, в худшем случае, перебор nm элементов, т.е. порядка nm шагов алгоритма.

2. Матрица смежности.

Элементы квадратной матрицы A(nn) определяются следующим образом:

Проверка существования ребра (дуги) (v_i, v_j) осуществляется за один шаг, в отличие от матрицы инциденций, однако, проверка свойств графа на основе такого представления требует, в худшем случае, порядка n² шагов алгоритма.

3. Матрица ребер.

Она представляет собой матрицу размером m2, каждая строка которой содержит вершины инцидентные i-му ребру (i-ой дуге). Для работы со взвешенными графами нужно добавить к матрице столбцы, соответствующие весам ребер (дуг).

Этому способу представления графа присущ тот же недостаток, что и матрице инциденций, - неудобство доступа к информации, хотя число шагов при поиске ребра здесь значительно меньше (порядка m). Поиск можно ускорить, введя лексикографический порядок в упорядочении пар и применяя двоичный поиск.

4. Списки инцидентности.

Для каждой вершины v_iV создается список записей, характеризующих ребра (дуги), инцидентные этой вершине.

Таким образом, это представление использует объем памяти порядка (n+m), поиск вершины смежной с данной требует порядка (n+m) шагов, проверка свойств графа осуществляется за число шагов порядка. Поэтому остановимся подробнее на этом способе задания графа.

Технология выполнения работы.

Списки инцидентности графа в языке C++ могут быть реализованы вектором, размерность которого равна количеству вершин графа. Каждый его элемент является списком, содержащим номера вершин, смежных с данной. Предварительно определения контейнерных классов vector и list должны быть подключены к файлу.

Если определить вектор, составленный из списков, как тип graf, т.е.

typedef vector <list <int>> graf ;

то исходный граф G будет описан graf G;.

Если граф взвешенный, то элементами его списков являются записи, содержащие помимо номера смежной вершины веса ребра (дуги), инцидентного этой вершиной.

Ввод графа осуществляется из текстового файла одного из двух видов: «таблица смежности» или «таблица ребер». Такие файлы по-разному формируются и интерпретируются для неориентированных и ориентированных графов: для неориентированного графа задаются ребра графа, а для ориентированного – дуги. То есть, ребро неориентированного графа задается один раз, а соответствующие ему записи автоматически включаются в списки инцидентности обоих его концов.

Файл «таблица смежности» состоит из блоков, соответствующих вершинам графа. Каждый блок имеет следующую структуру:

начальная вершина : список смежных с ней вершин

соответствующие ребрам (дугам) веса

Количество строк с весами ребер равно числу весов, число вершин списка равно числу весов в строках. Блоки в таком файле могут располагаться в произвольном порядке, причем, если вершина не является начальной ни для одного ребра (дуги) или ребро уже включено в список инцидентности другого его конца, то соответствующий ей блок отсутствует в файле.

Например, для неориентированного графа

Рис. 2

файл «таблица смежности» имеет вид

1 : 3 4

5 10

3 : 4

7

4 : 5

4

а ориентированный граф

Рис. 3

задается «таблицей смежности»

1 : 2 3

2 : 3

3 : 1

Для ориентированных графов могут формироваться как списки вершин, следующих за текущей, так и предшествующих ей вершин.

Файл «таблица ребер» имеет следующую структуру:

начальная вершина конечная вершина вес(а) ребра (дуги)

Также как и для «таблицы смежности» количество элементов в каждой из строк должно быть одинаковым, а число весов равно kv.

Например, файл «таблица ребер» графа, изображенного на рис.2 имеет вид.

1 3 5

1 4 10

3 4 7

4 5 4

Для формирования машинного представления графа необходимо построить список инцидентности для каждой вершины графа. Формирование списка инцидентности может осуществляться по принципу стека (LIFO), когда новая запись включается в начало списка, или по принципу очереди (FIFO), когда новая запись ставится в конец списка.

Определение количества вершин и рёбер (дуг) исходного графа выполняется программно при формировании списков инцидентности графа. Количество вершин определяется как максимальный номер вершины. Число рёбер (дуг) подсчитывается как суммарное число вершин для всех списков в исходном файле – для «таблицы смежности» и число строк – для «таблицы рёбер». Эти значения и построенные списки инцидентности выводятся на экран (или выходной файл).

Приведём алгоритмы построения списков инцидентности графа по входным файлам обоих видов. Используемые в алгоритмах обозначения:

nv – начальная вершина ребра (дуги);

kv – конечная вершина ребра (дуги).

1. Файл «таблица смежности».

while ( не конец файла )

{ ввод и проверка nv;

while ( не конец строки )

{ ввод и проверка kv;

добавить запись kv в список nv;

добавить запись nv в список kv; (для не-

ориентированного графа)

}

}

2. Файл «таблица ребер».

while ( не конец файла )

{ ввод и проверка nv;

ввод и проверка kv;

добавить запись kv в список nv;

добавить запись nv в список kv; (для неориентированно-

го графа)

}

Вывод списков инцидентности графа на экран или в файл осуществляется в соответствии со структурой аналогичной файлу «таблица смежности». При этом просматривается список каждой вершины, если он не пуст, то выводится: СП, затем в скобках вершина, : , список вершин смежных с ней. Например, выводимая информация имеет вид:

а) для графа (рис. 2)

СП(1): 3 4

СП(3): 1 4

СП(4): 1 3 5

СП(5): 4

б) для графа (рис. 3)

Списки следования: Списки предшествования:

СП [1]: 2 3 СП [1]: 3

СП [2]: 3 СП [2]: 1

СП [3]: 1 СП [3]: 2 1

Для вывода списка инцидентности или любого другого вида его обработки необходимо просмотреть этот список. Просмотр списка выполняется с помощью итераторов, которые являются аналогами указателей для контейнерных классов. Для этого итератору текущего элемента списка присваивается значение начала списка, а также запоминается итератор конца списка. Пока не достигнут конец списка, выполняются действия по обработке элемента списка и увеличение итератора текущего элемента списка. Обращение к элементу, адресуемому итератором, выполняется так же, как и для указателей, операторами * или >.

Например, фрагмент программы просмотра i-го списка графа имеет вид:

list <int> :: iterator pl = G[i].begin(), el = G[i].end();

while(pl!=el) блок обработки элемента;

При работе с графом часто требуется выполнить действия, изменяющие его структуру. К ним относятся:

1. Добавление ребра (дуги) (v_i, v_j) в граф G.

Для этого нужно:

а) добавить запись с вершиной v_j в список инцидентности вершины v_i;

б) для неориентированного графа добавить запись с вершиной v_i в список инцидентности вершины v_j.

2. Удаление ребра (дуги) (v_i, v_j) из графа G (осуществляется аналогично добавлению ребра (дуги)).

3. Удаление вершины v_i из графа G.

Для этого нужно удалить все ребра (дуги) инцидентные вершине v_i(т.е. удалить все записи из списка вершиныv_i, а для неориентированных графов – и соответствующие записи из списков смежных с ней вершин).

Часто кроме изменения структуры графа для более эффективной работы алгоритмов требуется сортировка (упорядочение) списков инцидентности.

Выполнить сортировку вершин в списке (для графа без весов) и поиск вершины в списке для удаления ребра (дуги), а следовательно, и вершины, в языке С++ можно, пользуясь абстрактными алгоритмами контейнерных классов. Для этого нужно подключить к файлу определение класса алгоритмов algorithm. Если элементами списков являются записи, то сортировка вершин выполняется одним из алгоритмов сортировки.