01_Вероятность и статистика

I раздел. Прикладные вопросы теории вероятностей и математической статистики

Лекция №1. Виды случайных величин. Задание дискретной случайной величины.¹

Основные формулы комбинаторики²

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок

P_n=n!,

(удобно рассматривать 0!=1)

Например: сколькими способами можно расположить бункеры-питатели АБЗ (щебень, песок, МП)? (не может быть два МП или др.)

P=3!=1*2*3=6.

В случае если элементы повторяются, то число перестановок

P_n(n₁, n₂, …)=n!/( n₁!n₂! …),

где n₁, n₂, …число элементов первого, второго и т.д. видов среди n элементов, причем n₁+n₂+…=n.

Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений

.

Например: Сколько можно составить вариантов двухслойного основания дорожной одежды, располагая шестью видами материалов?

³.

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний

.

Например: Сколькими способами можно выбрать из транспортного потока, состоящего из 10-и типоразмеров машин, два автомобиля?

.

Случайные величины

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным и бесконечным. Например, число прошедших за час легковых автомобилей при интенсивности движения 100 авт/час, может принимать значение 1, 2, 3, …, 100.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Например, расстояние, которое пройдет автомобиль при торможении.

Каждая из случайных величин принимает то или иное значение с определенной вероятностью. Для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями, например:

X	x1	x2	…	xn
p	p1	p2	…	pn

X – случайная величина;

P – вероятность;

x_{1, 2, …, n} – возможные значения случайной величины;

p_{1, 2, …, n} – вероятности выпадения возможных значений.

Биноминальное распределение

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна р (следовательно, вероятность непоявления q=1- р). Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины X число появлений события А в этих испытаниях.

Поставим перед собой задачу: найти закон распределения величины X. Для ее решения требуется определить возможные значения X и их вероятности. Очевидно, событие А в п испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, ..., либо п раз. Таким образом, возможные значения X таковы: х₁ = 0, x₂ = 1, х₃ = 2, …, х_п+1 = п. Остается найти вероятности этих возможных значений, для чего достаточно воспользоваться формулой Бернулли:

, (*)

где k = 0, 1, 2, .... п.

Формула (*) и является аналитическим выражением искомого закона распределения.

Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Закон назван «биномиальным» потому, что правую часть равенства (*) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона.

Распределение Пуассона

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Для определения вероятности k появлений события в этих испытаниях используют формулу Бернулли. Если же п велико, то пользуются асимптотической формулой Лапласа. Однако эта формула непригодна, если вероятность события мала (р^0,1). В этих случаях (п велико, р мало) прибегают к асимптотической формуле Пуассона.

Итак, поставим перед собой задачу найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно k раз. Сделаем важное допущение: произведение пр сохраняет постоянное значение, а именно пр = . Это означает, что среднее число появлений события в различных сериях испытаний, т. е. при различных значениях п, остается неизменным.

Эта формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых (n велико) и редких (р мало) событий⁴.

Простейший поток событий

Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени. Примерами потоков служат: проезд транспортных средств через сечение дороги, поступление вызовов на АТС и многие другие.

Среди свойств, которыми могут обладать потоки, выделим свойства стационарности, отсутствия последействия и ординарности.

Свойство стационарности характеризуется тем, что вероятность появления k событий на любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности t промежутка и не зависит от начала его отсчета; при этом различные промежутки времени предполагаются непересекающимися. Например, вероятности появления k событий на промежутках времени (1; 7), (10; 16), (Т; Т + 6) одинаковой длительности t=6 ед. времени равны между собой.

Итак, если поток обладает свойством стационарности, то вероятность появления k событий за промежуток времени длительности t есть функция, зависящая только от k и t.

Свойство отсутствия последействия характеризуется тем, что вероятность появления k событий на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка. Таким образом, предыстория потока не сказывается на вероятности появления событий в ближайшем будущем.

Итак, если поток обладает свойством отсутствия последействия, то имеет место взаимная независимость появлений того или иного числа событий в непересекающиеся промежутки времени.

Свойство ординарности характеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно. Другими словами, вероятность появления более одного события пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления только одного события.

Итак, если поток обладает свойством ординарности, то за бесконечно малый промежуток времени может появиться не более одного события.

Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности.

Интенсивностью потока  называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени (напр.: интенсивность движения).

Можно доказать, что если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность появления k событий простейшего потока за время длительностью t определяется формулой Пуассона.

Эта формула отражает все свойства простейшего потока⁵.

Формулу Пуассона можно считать математической моделью простейшего потока событий.

Пример. Среднее значение интенсивности движения автомобилей в течение часа составляет 2 авт/мин. Найти вероятности того, что за 6 мин проедет 3 автомобиля. Поток автомобилей предполагается простейшим.

Решение. По условию,  = 2, t = 6, k = 3. Воспользуемся формулой Пуассона

Искомая вероятность того, что за 6 мин проедет 3 автомобиля,

Р₆(3)= 12³е^-12/3! = 1440,000006144/6 = 0,000147.

Это событие практически невозможно.

Геометрическое распределение

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна р (0<р<1) и, следовательно, вероятность его непоявления q=1-р. Испытания заканчиваются, как только появится событие А. Таким образом, если событие А появилось в k-м испытании, то в предшествующих k-1 испытаниях оно не появлялось.

Обозначим через X дискретную случайную величину — число испытаний, которые нужно провести до первого появления события А. Очевидно, возможными значениями X являются натуральные числа: х₁=1, х₂=2, ...

Пусть в первых k-1 испытаниях событие А не наступило, а в k-м испытании появилось. Вероятность этого «сложного события», по теореме умножения вероятностей независимых событий,

(**)

Полагая k=1, 2, ... в формуле (**), получим геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем q (0<q<1):

По этой причине данное распределение называют геометрическим.

Пример. Вероятность превышения расчетного паводка на реке при проектировании мостового перехода р = 0,02. Найти вероятность того, что превышение расчетного паводка наступит в шестой год эксплуатации моста.

Решение. По условию, р = 0,02, q = 0,98, k=6. Искомая вероятность:

P = q^k-1p = 0,98⁵ 0,02 = 0,018.

П Р А К Т И К А № 1

Требуется установить на основе данных наблюдений за интенсивностью движения, подчиняется ли интенсивность движения закону Пуассона. Найти средний интервал движения автомобилей. Определить размер очереди перед железнодорожным переездом в одном уровне при известной длительности запрещающего сигнала светофора.

Исходные данные:

Наблюдение за интенсивностью движения.

0
Ni	fi
0	7
1	23
2	26
3	20
4	12
5	7
6	3
7	2
8	0
9	0

Средняя длительность запрещающего сигнала светофора на железнодорожном переезде t₀ = 2,4 мин.

Решение:

1. Число наблюдений 7+23+26+…+0=100.

Т.к. число наблюдений составило 100, то величины f_n выражают фактически установленные вероятности прохождения n автомобилей за 1 минуту, выраженные в процентах.

2. Среднее число наступления событий a=λt вычисляется как

3. Находим закон распределения случайной величины, предполагая его Пуассоновским. Для этого определяем вероятности появления n автомобилей за интервал времени t=1 при a=λt=2,5. Воспользуемся формулой пуассоновского распределения⁶:

Ni	fi	ft
0	7	8,2
1	23	20,5
2	26	25,6
3	20	21,3
4	12	13,3
5	7	6,6
6	3	2,7
7	2	0,9
8	0	0,3
9	0	0,0

На данном этапе, проведенный анализ показывает относительное соответствие экспериментальных данных пуассоновскому распределению.

4. Средний интервал времени между автомобилями при пуассоновском распределении равен:

с.

5. Размер очереди автомобилей перед железнодорожным переездом определяется исходя из среднего интервала между автомобилями и среднего времени закрытия переезда:

автомобилей.

Лекция №2. Математическое ожидание и дисперсия.⁷

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина X может принимать только значения x₁, х₂, ..., х_п, вероятности которых соответственно равны p₁, р_г, …, р_n. Тогда математическое ожидание М (X) случайной величины X определяется равенством

М (X) = x₁p₁ + x₂р₂ + ...+ х_nр_n.

Математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события.

Вероятностный смысл математического ожидания: математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.⁸

Свойства математического ожидания

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

М(С) = С.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выноить за знак математического ожидания:

М(СХ) = СМ(Х).

Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых⁹ случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M(XY) = M(X)M(Y).

Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

M(X + Y) = M(X) + M(Y).

Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р. Чему равно среднее число появлений события А в этих испытаниях? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Математическое ожидание М (X) числа появлений события А в п независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:

М (X) = пр.

Дисперсия дискретной случайной величины

Для того чтобы оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания, пользуются числовой характеристикой, которую называют дисперсией.

Прежде чем перейти к определению и свойствам дисперсии, введем понятие отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием X—М(Х).

Пусть закон распределения случайной величины известен:

X	x1	x2	…	xn
p	p1	p2	…	pn

Напишем закон распределения отклонения. Для того чтобы отклонение приняло значение х₁-М(X), достаточно, чтобы случайная величина приняла значение х₁. Вероятность же этого события равна р₁ следовательно, и вероятность того, что отклонение примет значение х₁-М(X), также равна р₁. Аналогично обстоит дело и для остальных возможных значений отклонения.

Таким образом, отклонение имеет следующий закон распределения:

X-M(X)	x1-M(X)	x2-M(X)	…	xn-M(X)
p	p1	p2	…	pn

Математическое ожидание отклонения равно нулю:

М[Х—М(Х)] = 0.

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Например, оценить среднее отклонение траектории автомобиля при движении по кривой.

На первый взгляд может показаться, что для оценки проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их среднее значение. Однако такой путь ничего не даст, так как среднее значение отклонения, т. е. М [X — М (X)], для любой случайной величины равно нулю. Это объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, а другие — отрицательны; в результате их взаимного погашения среднее значение отклонения равно нулю. Эти соображения говорят о целесообразности заменить возможные отклонения их абсолютными значениями или их квадратами. В случае, когда возможные отклонения заменяют их абсолютными значениями, приходится оперировать с абсолютными величинами, что приводит иногда к серьезным затруднениям. Поэтому чаще всего идут по другому пути, т. е. вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которое и называют дисперсией.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = M[X—M(Х)]².

По определению дисперсии, для того чтобы ее найти, достаточно вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности.

Формула для вычисления дисперсии

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания:

D(X)=M(X²)-[M(X)]².

Свойства дисперсии

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю;

D (С) = 0.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D(CX) = C²D(X).

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D(X + Y) = D(X) + D(Y).

Следствие: Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины:

D(C + X) = D(X).

Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D(X — Y) = D(X) + D(Y).

Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна. Чему равна дисперсия числа появлений события в этих испытаниях? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Дисперсия числа появлений события А в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

D(X) = npq.

Пример. Производятся 10 независимых замеров скоростей движения автомобилей, в каждом из которых вероятность превышения допустимой скорости движения, т.е. появления события, равна 0,6. Найти дисперсию сучайной величины скорости движения — числа превышений в этих испытаниях.

Решение: По условию, п = 10, р = 0,6. Очевидно, вероятность не превышения q=1—0,6 = 0,4. Искомая дисперсия:

D(X) = pqn=100,60,4 = 2,4.

Среднее квадратическое отклонение

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением случайной величины X называют квадратный корень из дисперсии:

.

Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Так как среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то размерность (Х) совпадает с размерностью X. Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратическое отклонение, а не дисперсию. Например, если X выражается в линейных метрах, то (X) будет выражаться также в линейных метрах, a D(X) - в квадратных метрах.

П Р А К Т И К А № 2

Математическое ожидание и дисперсия.

Шифр: 123456

Исходные данные:

v, км/ч	N, авт	v, км/ч		N, авт	v, км/ч	N, авт	v, км/ч	N, авт	v, км/ч	N, авт
48	0	56		6	64	75	72	85	80	6
49	1	57		8	65	82	73	80	81	7
50	2	58		10	66	90	74	70	82	5
51	2	59		11	67	99	75	47	83	4
52	3	60		14	68	105	76	25	84	1
53	2	61		19	69	100	77	10	85	2
54	4	62		28	70	98	78	8	86	1
55	6	63		70	71	94	79	6	87	0
vрасч=	60 км/ч
t=	1,039