01_Вероятность и статистика

Решение:

1. Проанализировать исходные данные. Написать закон распределения скорости движения.

Вероятности появления одной из скоростей движения определяются формулой:

48	0	0	68	105	0,081649
49	1	0,000778	69	100	0,07776
50	2	0,001555	70	98	0,076205
51	2	0,001555	71	94	0,073095
52	3	0,002333	72	85	0,066096
53	2	0,001555	73	80	0,062208
54	4	0,00311	74	70	0,054432
55	6	0,004666	75	47	0,036547
56	6	0,004666	76	25	0,01944
57	8	0,006221	77	10	0,007776
58	10	0,007776	78	8	0,006221
59	11	0,008554	79	6	0,004666
60	14	0,010886	80	6	0,004666
61	19	0,014774	81	7	0,005443
62	28	0,021773	82	5	0,003888
63	70	0,054432	83	4	0,00311
64	75	0,05832	84	1	0,000778
65	82	0,063764	85	2	0,001555
66	90	0,069984	86	1	0,000778
67	99	0,076983	87	0	0
			Сумма =	1286	1,00

2. Найти математическое ожидание скорости движения (среднюю скорость свободного движения)

v₀= М(v)= = 68,48 км/ч

и коэффициента безопасности для данного распределения.

k_без= М(v)/v_p=1,14

3. Найти отклонения скорости движения и записать закон его распределения.

v_i - М(v)

48	0	-20,479	68	105	-0,479
49	1	-19,479	69	100	0,520995
50	2	-18,479	70	98	1,520995
51	2	-17,479	71	94	2,520995
52	3	-16,479	72	85	3,520995
53	2	-15,479	73	80	4,520995
54	4	-14,479	74	70	5,520995
55	6	-13,479	75	47	6,520995
56	6	-12,479	76	25	7,520995
57	8	-11,479	77	10	8,520995
58	10	-10,479	78	8	9,520995
59	11	-9,479	79	6	10,521
60	14	-8,479	80	6	11,521
61	19	-7,479	81	7	12,521
62	28	-6,479	82	5	13,521
63	70	-5,479	83	4	14,521
64	75	-4,479	84	1	15,521
65	82	-3,479	85	2	16,521
66	90	-2,479	86	1	17,521
67	99	-1,479	87	0	18,521

4. Оценить дисперсию скоростей движения. Вычислить среднее квадратическое отклонение.

D(v) = M[v_i - M(v)]²= 26,09 км²/ч

5,11 км/ч

5. Определить фактическую максимальную скорость на данном участке.

v_{ф max}=v₀+t∙σ(v)=68,48+1,039∙5,11=73,8 км/ч

Лекция №3 Функция распределения вероятностей случайной величины. Плотность распределения. Нормальные и показательные распределения

Определение функции распределения

Вспомним, что дискретная случайная величина может быть задана перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей. Такой способ задания не является общим: он неприменим, например, для непрерывных случайных величин. Поэтому и вводят функции распределения вероятностей случайной величины.

Функцией распределения называют функцию F (х), определяющую вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньшее х, т. е.

F(x) = P(X<x).

Геометрически это равенство можно истолковать так: Р(х) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Свойства функции распределения

Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1]:

0≤F(x)≤1

Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

Свойство 2. F(х) - неубывающая функция, т. е.

F (х₂) ≥ F (х₁), если x₂ > x₁.

Следствие: Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

P(a≤X<b) = F(b) - F(a).

Свойство 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то F(x) =0 , при х≤а и F(x)=1 при х≥b.

Определение плотности распределения

Выше непрерывная случайная величина задавалась с помощью функции распределения. Этот способ задания не является единственным. Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности (иногда ее называют дифференциальной функцией).

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называют функцию f(х) - первую производную от функции распределения F(x):

f(x) = F'(x).

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.

График плотности распределения называют кривой распределения.

Заметим, что для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу. Вычисление основано на следующей теореме.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (а, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b:

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [a, b], называют определенный интеграл:

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.

Если возможные значения X принадлежат отрезку [a, b], то

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для величины дискретной, равенством

Замечание 1. Можно доказать, что свойства математического ожидания и дисперсии дискретных величин сохраняются и для непрерывных величин.

Замечание 2. Легко получить для вычисления дисперсии более удобную формулу:

.

Замечание 3. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины R, распределенной равномерно в интервале (а, b), соответственно равны:

M(R) = (a+b)/2,

D(R) = (b-a)²/12.

Нормальное распределение

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

.

Нормальное распределение определяется двумя параметрами: а и . Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение. Вероятностный смысл этих параметров таков: а есть математическое ожидание,  - среднее квадратическое отклонение нормального распределения.

Общим называют нормальное распределение с произвольными параметрами а и  ( > 0).

Нормированным называют нормальное распределение с параметрами а = 0 н =1.

Нормальная кривая

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса),

Исследуем функцию

методами дифференциального исчисления.

На рисунке изображена нормальная кривая при а = 1 и =2

1. Очевидно, функция определена на всей оси х.

2. При всех значениях х функция принимает положительные значения, т.е. нормальная кривая расположена над осью Ох.

3 Предел функции при неограниченном возрастании (по абсолютной величине) равен нулю:

т.е. ось Ох служит горизонтальной асимптотой графика.

4. у' = 0 при х = а, у'>0 при х < a, у' < 0 при х > а. Следовательно, при х = а функция имеет максимум равный .

5. Разность х - а содержится в аналитическом выражении функции в квадрате, т.е. график функции симметричен относительно прямой x = а.

6. Исследуем функцию на точки перегиба. При х=а+ и х=а- вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки она меняет знак (в обеих этих точках значение функции равно ). Таким образом, точки графика (а-, ) и (а+, ) являются точками перегиба.

Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой

Изменение величины параметра а (математического ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси Ох: вправо, если а возрастает, и влево, если а убывает.

С возрастанием  максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т. е. сжимается к оси Ох; при убывании  нормальная кривая становится более «островершинной» и растягивается в положительном направлении оси Оу.

Подчеркнем, что при любых значениях параметров а и  площадь, ограниченная нормальной кривой и осью х, остается равной единице (второе свойство плотности распределения).

Заметим, что при а=0 и =1 нормальную кривую

называют нормированной.

Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины.

Вероятность попадания P в заданный интервал (α; β) нормальной случайной величины X может быть определена с помощью функции Лапласа:

, где z=(x-a)/.

.

Оценка отклонения теоретического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс.

При изучении распределений, отличных от нормального, возникает необходимость количественно оценить это различие. С этой целью вводят специальные характеристики, в частности асимметрию и эксцесс. Для нормального распределения эти характеристики равны нулю. Поэтому если для изучаемого распределения асимметрия и эксцесс имеют небольшие значения, то можно предположить близость этого распределения к нормальному. Введем понятие центрального момента.

Центральным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины (X-M(X))^k.

_k=M[(X-M(X))^k].

₁=0, ₂=D(X)

Как оценить асимметрию? Можно доказать, что для симметричного распределения (график такого распределения симметричен относительно прямой х = М (Х)) каждый центральный момент нечетного порядка равен нулю. Для несимметричных распределений центральные моменты не четного порядка отличны от нуля. Поэтому любой из этих моментов (кроме момента первого порядка, который равен нулю для любого распределения) может служить для оценки асимметрии; простейший из них - момент третьего порядка. Однако принять этот момент для оценки асимметрии неудобно потому, что его величина зависит от единиц, в которых измеряется случайная величина. Чтобы устранить этот недостаток ₃ делят на ³ и, таким образом, получают безразмерную характеристику.

Асимметрией теоретического распределения называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения:

A_s=₃/³.

Асимметрия положительна, если «длинная часть» кривой распределения расположена справа от математического ожидания; асимметрия отрицательна, если «длинная часть» кривой расположена слева от математического ожидания.

Эксцессом теоретического распределения называют характеристику, которая определяется равенством:

E_k=(₄/⁴)-3

для нормального распределения (₄/⁴)=3; следовательно, эксцесс равен нулю. Поэтому если эксцесс некоторого распре деления отличен от нуля, то кривая этого распределения отличается от нормальной кривой: если эксцесс положительный, то кривая имеет более высокую и острую вершину чем нормальная кривая; если эксцесс отрицательный то сравниваемая кривая имеет более низкую и плоскую вершину, чем нормальная кривая. При этом предполагается, что нормальное и теоретическое, распределения имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии.

Определение показательного распределения

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описывается плотностью

где  - постоянная положительная величина.

Видно, что показательное распределение определяется одним параметром .

Функция распределения показательного закона:

Числовые характеристики показательного распределения

Математическое ожидание показательного распределения равно обратной величине параметра :

M(X)=1/.

Дисперсия:

D(X) = 1/².

Среднее квадратическое отклонение:

(X)=1/

Очевидно, что М(Х)=(Х)=1/, т. е. математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой.

Показательное распределение широко применяется в приложениях, в частности в теории надежности, одним из основных понятий которой является функция надежности.

Функция надежности

Пусть покрытие автомобильной дороги начинает работать в момент времени t=0, а по истечении времени длительностью t происходят критические разрушения¹⁰ дорожной одежды - отказ. Обозначим через Т непрерывную случайную величину - длительность времени безотказной работы покрытия. Если дорога проработала безотказно (до наступления критических разрушений) время, меньшее t, то, следовательно, за время длительностью t наступит отказ.

Таким образом, функция распределения F(t)=Р(Т<t) определяет вероятность отказа за время длительностью t. Следовательно, вероятность безотказной работы за это же время длительностью t, т. е. вероятность противоположного события Т>t, равна

R(t)=P(T>t)=1-F(t).

Функцией надежности R(t) называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью t:

R(t) = P(T>t).

Показательный закон надежности

Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, функция распределения которого

F(t)=1-e^-t.

Следовательно, функция надежности в случае показательного распределения времени безотказной работы элемента имеет вид

R(t)=1-F(t)=e^-t.

Показательным законом надежности называют функцию надежности, определяемую равенством

R(t)=e^-t.

где  — интенсивность отказов.

Как следует из определения функции надежности, эта формула позволяет найти вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью t, если время безотказной работы имеет, показательное распределение.

Пример. Время безотказной работы светофора распределено по показательному закону f(t)= 0,08е^-0,08t при t≥0 (t — время, мес). Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 3 года.

Решение. По условию, постоянная интенсивность отказов =0,08 раз/мес. тогда:

R(36)=e^-0,0836=e^-2,88=0,057

Искомая вероятность того, что светофор проработает безотказно 3 года, приближенно равна 0,06.

Если отказы элементов в случайные моменты времени образуют простейший поток, то вероятность того, что за время длительностью t не наступит ни одного отказа:

P_t(0)=e^-t.

Характеристическое свойство показательного закона надежности: вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью t не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени t (при заданной интенсивности отказов ).

П Р А К Т И К А № 3

Нормальное распределение. Асимметрия и эксцесс.

Шифр: 123456

Исходные данные:

v, км/ч	N, авт	v, км/ч		N, авт		v, км/ч		N, авт	v, км/ч		N, авт		v, км/ч	N, авт
48	0	56		6		64		75	72		85		80	6
49	1	57		8		65		82	73		80		81	7
50	2	58		10		66		90	74		70		82	5
51	2	59		11		67		99	75		47		83	4
52	3	60		14		68		105	76		25		84	1
53	2	61		19		69		100	77		10		85	2
54	4	62		28		70		98	78		8		86	1
55	6	63		70		71		94	79		6		87	0
vрасч=	60 км/ч		a=		0,80		e=			1,8