01_Вероятность и статистика

Решение:

1. Используя данные расчетной работы №2: a=M(v)=68,48 км/ч, =(v)=5,11 км/ч напишем законы распределения отклонения

   vi	ni	pi	vi*pi	vi-M(v)	pi*(vi-M(v))^2	pi*(vi-M(v))^4	pi*(vi-M(v))^3
   48	0	0,00000	0,0000	-20,48	0,0000	0,0000	0,0000
   49	1	0,00078	0,0381	-19,48	0,2950	111,9505	-5,7472
   50	2	0,00156	0,0778	-18,48	0,5311	181,3441	-9,8135
   51	2	0,00156	0,0793	-17,48	0,4751	145,1630	-8,3050
   52	3	0,00233	0,1213	-16,48	0,6335	172,0300	-10,4393
   53	2	0,00156	0,0824	-15,48	0,3726	89,2814	-5,7679
   54	4	0,00311	0,1680	-14,48	0,6521	136,7017	-9,4414
   55	6	0,00467	0,2566	-13,48	0,8477	154,0074	-11,4257
   56	6	0,00467	0,2613	-12,48	0,7266	113,1436	-9,0667
   57	8	0,00622	0,3546	-11,48	0,8197	108,0105	-9,4094
   58	10	0,00778	0,4510	-10,48	0,8539	93,7647	-8,9479
   59	11	0,00855	0,5047	-9,48	0,7686	69,0562	-7,2852
   60	14	0,01089	0,6532	-8,48	0,7827	56,2687	-6,6362
   61	19	0,01477	0,9012	-7,48	0,8264	46,2262	-6,1808
   62	28	0,02177	1,3499	-6,48	0,9140	38,3663	-5,9216
   63	70	0,05443	3,4292	-5,48	1,6340	49,0528	-8,9529
   64	75	0,05832	3,7325	-4,48	1,1700	23,4718	-5,2404
   65	82	0,06376	4,1446	-3,48	0,7718	9,3410	-2,6850
   66	90	0,06998	4,6190	-2,48	0,4301	2,6431	-1,0662
   67	99	0,07698	5,1579	-1,48	0,1684	0,3684	-0,2491
   68	105	0,08165	5,5521	-0,48	0,0187	0,0043	-0,0090
   69	100	0,07776	5,3655	0,52	0,0211	0,0057	0,0110
   70	98	0,07621	5,3344	1,52	0,1763	0,4078	0,2681
   71	94	0,07309	5,1897	2,52	0,4645	2,9524	1,1711
   72	85	0,06610	4,7589	3,52	0,8194	10,1587	2,8852
   73	80	0,06221	4,5412	4,52	1,2715	25,9887	5,7485
   74	70	0,05443	4,0280	5,52	1,6592	50,5739	9,1603
   75	47	0,03655	2,7411	6,52	1,5541	66,0865	10,1344
   76	25	0,01944	1,4774	7,52	1,0996	62,2014	8,2704
   77	10	0,00778	0,5988	8,52	0,5646	40,9940	4,8109
   78	8	0,00622	0,4852	9,52	0,5639	51,1185	5,3690
   79	6	0,00467	0,3686	10,52	0,5164	57,1660	5,4335
   80	6	0,00467	0,3733	11,52	0,6193	82,1997	7,1348
   81	7	0,00544	0,4409	12,52	0,8534	133,7866	10,6850
   82	5	0,00389	0,3188	13,52	0,7108	129,9462	9,6107
   83	4	0,00311	0,2582	14,52	0,6559	138,2944	9,5238
   84	1	0,00078	0,0653	15,52	0,1873	45,1271	2,9075
   85	2	0,00156	0,1322	16,52	0,4245	115,8601	7,0129
   86	1	0,00078	0,0669	17,52	0,2387	73,2815	4,1825
   87	0	0,00000	0,0000	18,52	0,0000	0,0000	0,0000
   ∑=	1286	a=M(v)=	68,48	D(v)=	26,09	3=	-28,27
   vрасч=	60			=	5,11	As=	-0,21
   						Ek=	0,95

2. Найдем центральные моменты третьего и четвертого порядка по формулам:

₃=M[(X-M(X))³]=-28,27

₄=M[(X-M(X))⁴]=2686,34

3. Определяем величины асимметрии и эксцесса по формулам:

A_s=₃/³=-0,21

E_k=(₄/⁴)-3=0,95

Т.к. : асимметрия – A_s=0,21<a=0,8 и эксцесс – Е_k=0,95<e=1,8, распределение можно считать нормальным.

4. По колонкам скорости движения и вероятности строим график плотности теоретического распределения. Используя уравнение плотности нормального распределения

=

строим график плотности нормального распределения.

5. Определяем границы интервала превышения расчетной скорости движения. Расчетная скорость движения – 60 км/ч, максимальная зафиксированная – 86 км/ч, следовательно границы интервала: α=60, β=86.

Находим вероятность попадания случайной величины – скорости движения – в этот интервал по формуле:

=

95,12% автомобилей двигаются с превышением расчетной скорости.

Лекция № 4. Элементы математической статистики. Выборочный метод.

Основные понятия математической статистики

Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных — результатов наблюдений.

Первая задача математической статистики — указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов.

Вторая задача математической статистики — разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования. Сюда относятся:

а) оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид которого известен; оценка зависимости случайной величины от одной или нескольких случайных величин и др.;

б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен.

Современная математическая статистика разрабатывает способы определения числа необходимых испытаний до начала исследования (планирование эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ) и решает многие другие задачи. Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности.

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия асфальтобетона, то качественным признаком может служить температура смеси в каждом самосвале, а количественным — контролируемая масса отгрузки.

Иногда проводят сплошное обследование, т. е. обследуют каждый из объектов совокупности относительно признака, которым интересуются. На практике, однако, сплошное обследование применяют сравнительно редко. Например, если совокупность содержит очень большое число объектов, если обследование объекта связано с его уничтожением или требует больших материальных затрат, то проводить сплошное обследование не имеет смысла. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению.

Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности. Например, если из 100 самосвалов с а/б смесью отобрано для обследования 10, то объем генеральной совокупности N=100, a объем выборки n=10.

При составлении выборки можно поступать двумя способами: после того как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен либо не возвращен в генеральную совокупность. В соответствии со сказанным выборки подразделяют на повторные и бесповторные.

Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.

Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

На практике обычно пользуются бесповторным случайным отбором.

Для того чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его представляли. Другими словами, выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности. Это требование коротко формулируют так: выборка должна быть репрезентативной (представительной).

В силу закона больших чисел¹¹ можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если ее осуществить случайно: каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности, если все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.

На практике применяются различные способы отбора. Принципиально эти способы можно подразделить на два вида:

1. Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части. Сюда относятся:

а) простой случайный бесповторный отбор;

б) простой случайный повторный отбор.

2. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части. Сюда относятся:

а) типический отбор;

б) механический отбор;

в) серийный отбор.

Простым случайным называют такой отбор, при котором объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности. Осуществить простой отбор можно различными способами. Например, выписывают номера от 1 до N на карточках, которые тщательно перемешивают, и наугад вынимают одну карточку; объект, имеющий одинаковый номер с извлеченной карточкой, подвергают обследованию; затем карточку возвращают в пачку и процесс повторяют, т. е. карточки перемешивают, наугад вынимают одну из них и т. д. Так поступают n раз; в итоге получают простую случайную повторную выборку объема n.

Если извлеченные карточки не возвращать в пачку, то выборка является простой случайной бесповторной.

Типическим называют отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типической» части. Например, если детали изготовляют на нескольких станках, то отбор производят не из всей совокупности деталей, произведенных всеми станками, а из продукции каждого станка в отдельности. Типическим отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак заметно колеблется в различных типических частях генеральной совокупности. Например, если продукция изготовляется на нескольких машинах, среди которых есть более и менее изношенные, то здесь типический отбор целесообразен.

Механическим называют отбор, при котором генеральную совокупность «механически» делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают один объект. Например, если нужно отобрать 20% изготовленных станком деталей, то отбирают каждую пятую деталь; если требуется отобрать 5% деталей, то отбирают каждую двадцатую деталь, и т.д.

Серийным называют отбор, при котором объекты отбирают из генеральной совокупности не по одному, а «сериями», которые подвергаются сплошному обследованию. Например, если изделия изготовляются большой группой станков-автоматов, то подвергают сплошному обследованию продукцию только нескольких станков. Серийным отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак колеблется в различных сериях незначительно.

Статистическое распределение выборки

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем х₁ наблюдалось n₁ раз, х₂ — n₂ раз, х_k — n_k раз и ∑n_i = n — объем выборки. Наблюдаемые значения х_i называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, — вариационным рядом. Числа наблюдений называют частотами, а их отношения к объему выборки n_i/n=W_i - относительными частотами.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей 1 интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).

Заметим, что в теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике — соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами, или относительными частотами.

Полигон и гистограмма

Для наглядности строят различные графики статистического распределения и, в частности, полигон и гистограмму.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x₁, n₁), (x₂, n₂), …, (x_k, n_k). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты x_i, а на оси ординат — соответствующие им частоты n_i.

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x₁, W₁), (x₂, W₂), …, (x_k, W_k). На рис. изображен полигон относительных частот следующего распределения:

X 1,5 3,5 5,5 7,5

W 0,1 0,2 0,4 0,3

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для каждого частичного интервала n_i —сумму частот вариант, попавших в i-й интервал.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношен ию n_i/h (плотность частоты).

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии n_i/h. Площадь i-го частичного прямоугольника равна hn_i/h=n_i — сумме частот вариант i-гo интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т. е. объему выборки.

На рис. изображена гистограмма частот распределения объема п=100, приведенного в табл. 1.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению W_i/h (плотность относительной частоты).

Таблица 1

Частичный интервал длиною h=5	Сумма частот вариант частичного интервала пi	Плотность частоты пi/h
5—10	4	0,8
10—15	6	1,2
15—20	16	3,2
20—25	36	7,2
25—30	24	4,8
30—35	10	2,0
35—40	4	0,8

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии W_i/h. Площадь i-го частичного прямоугольника равна hW_i/h=W_i — относительной частоте вариант, попавших в i-й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т. е. единице.