lek8
.pdf
Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии (МИИГАиК)
ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ
Курс лекций
Голубев В.В.
Оценка точности в коррелатнлом способе уравнивания.
Обратно-весовая матрица невязок
φ (Y) =0
|
|
= |
|
+ |
∂ϕ |
(Y − y) = B(− ) +W =0 |
||
ϕ(Y ) |
ϕ( y) |
|||||||
|
|
|
|
|
∂Y |
|
−1 T |
|
|
B∆=W |
BP |
(5) |
|||||
|
B |
=QW |
||||||
Обратная весовая матрица невязок
BP−1BT =QW |
Пример |
|
||||||||
Y1 +Y2 +Y3 -1800 =0 |
||||||||||
|
|
|
С |
|
|
|
v1 +v2 +v3 +w =0 |
|||
|
|
|
|
|
|
3K+w=0 |
QW = 3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Y3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Пусть σ = 2”. Определить допустимую невязку |
||||
|
|
|
|
|
|
mw =у |
1 |
|
|
|
|
Y1 |
|
|
P w |
|
|||||
|
Y2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
А |
|
В |
|
|
|
|
||||
w =3у |
1 |
=3* 2 |
3 =10.4" |
|
||||||
|
|
|||||||||
|
доп |
P w |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Определение средней квадратической ошибки по зависимым ошибкам измерений
Ортогональные матрицы удовлетворяют следующим свойствам.
FFT=E |
и |
|
|
FQFT=D |
|
|
D-1 =FQ-1FT |
|
|
||||||
Задан вектор истинных ошибок ∆ с полной обратной весовой матрицей Q∆ |
|||||||||||||||
Z = D−0.5FД |
|
QZ = D−0.5FQДFTD−0.5 = D−0.5DD−0.5 = E |
|||||||||||||
|
2 |
ZT Z |
|
Z |
T |
Z = |
T |
T |
−0.5 |
D |
−0.5 |
F = |
T T |
−1 |
F |
m |
= n |
|
|
|
F D |
|
|
F D |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ZT Z =ДTFTD−1FД=ДTFTFQ−1FTFД=ДTQ−1Д
μ |
2 |
= |
T Q−1 |
(6) |
|
n |
|
Формула Бесселя
2 |
|
T Q−1 |
|
2 |
|
WTQw −1W |
|
μ |
= |
n |
|
м |
= |
|
|
|
|
r |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
WTQw −1W |
|
WT N−1W |
|
|
WT K |
м |
= |
|
= |
r |
= − |
r |
|
r |
|||||||
V T PV =V T PP−1BT K =V T BT K
BV+W=0 |
VT BT =-WT |
V T PV = −W T K |
м2 = |
V T PV |
м= |
[ pvv] |
(7) |
|
r |
|||||
|
r |
|
|||
|
|
|
|
Обратная весовая матрица вектора уравненных измерений
ŷ= y + v= y +P-1BT K =y - P-1BTN-1W
ŷ= Y+∆ -P-1BTN-1 B ∆ = Y + (E - P-1BTN-1 B) ∆ = Y +C ∆
Q ŷ = CQ∆CT = (E - P-1BTN-1 B) P-1 (E - BTN-1 BP-1)
Q ŷ = P-1 - P-1BTN-1 BP-1 - P-1BTN-1 BP-1 + P-1BTN-1 B P-1 BTN-1 BP-1
P-1BTN-1 B P-1 BT N-1 BP-1 = P-1BTN-1N N-1 BP-1 = P-1BTN-1 BP-1
Q ŷ = P-1 - P-1BTN-1 BP-1 |
(8) |
В случае неравноточных измерений |
|
Q ŷ = E - BTN-1 B |
(9) |
|
Случай равнточных |
|
|
|
измерений |
С Пример
Y3
Y1 +Y2 +Y3 -1800 =0
Y1 Y2
А В
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
Q |
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
ŷ |
= |
|
− 1 |
3 |
(1 1 1)= |
||||||
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
0 |
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||
|
2 |
|
|
−1 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Q ŷ = |
−13 |
23 |
−13 |
|
|||||
|
−1 |
3 |
−1 |
3 |
2 |
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
Q ŷ = E - BTN-1 B
0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
− |
|
1 |
|
|
|
3 |
1 |
1 |
||||
0 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
Отношение весов измерений после уравнивания и до уравнивания
|
|
С |
|
|
|
2 |
|
|
−1 |
|
−1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Y3 |
|
|
3 |
3 |
3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Q ŷ = |
|
−1 |
3 |
2 |
3 |
−1 |
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
3 |
−1 |
3 |
3 |
|
|||||
Y1 |
|
Y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
А |
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
До уравнивания все измерения были равноточными. Веса равны 1.
|
P~ |
= |
3 |
|
= 2 |
≈ k |
|
|
|
1 |
|
||||||
|
Py |
|
||||||
Отношение весов |
y |
|
|
2 |
3 |
|
n |
(10) |
Обратная весовая матрица вектора функций от уравненных измерений
F1 = F1(~y1, ~y2 ,..., ~yn )
F2 = F2 (~y1, ~y2 ,..., ~yn )
……………………………
|
|
~ |
~ |
|
~ |
|||
|
Fs = Fs ( y1 |
, y2 |
,..., yn ) |
|||||
|
|
∂F |
|
∂F |
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
∂y1 |
|
∂y2 |
||||
|
|
∂F2 |
|
∂F2 |
||||
f |
= |
|
|
|
|
|
||
∂y |
|
|
∂y |
2 |
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
...... ..... |
|
|||||
|
∂F |
|
∂F |
|||||
|
|
s |
|
∂y |
s |
|||
|
|
∂y |
|
2 |
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
...
...
...
...
∂F1
∂yn ∂F2
∂yn
....
∂Fs ∂yn
|
|
|
~ |
|
|
|
F = F( y) |
|
|||
|
Q |
F |
= f Q~ f T |
(11) |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обратная весовая матрица вектора функций от уравненных измерений
Q ŷ = P-1 - P-1BTN-1 BP-1
= ~
F F( y)
Q |
F |
= f Q~ f T |
|
y |
Q F = f P |
-1 |
f |
T |
- f P |
-1 T -1 |
BP |
-1 |
f |
T |
|
|
|
B N |
|
|
(12) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|