Тема № 2. Расчет средних величин

Исходные данные:

• - Изучаемый признак - Х_i.

• - Частота изучаемого признака - f_i.

Определить:

• - Среднюю величину изучаемого признака - Х_ср.

• - Модальное и медианное значение изучаемого признака - Мо и Ме.

• - Среднее квадратическое отклонение -  (сигма) и дисперсию D.

• - Построить график данного ряда распределения

Методические указания

Если ряд первичный, несгруппированный, то необходимо предварительно данные сгруппировать по одинаковым значениям и упорядочить в порядке возрастания или убывания, построив при этом таблицу со значениями признака (вариантами) и значениями частот.

Например,

Количество детей	Количество семей
Хi	fi
1	5
2	15

Если ряд интервальный, то при расчете необходимо в качестве значений признака взять середины интервалов. При расчете середины открытых интервалов ширина интервала принимается равной ширине ближайшего закрытого интервала.

Например,

Выработка	Количество рабочих	Середина интервала
Fi	Хi	Хсередина
4-6	3	5
6-8	5	7

1. Расчет средней арифметической для сгруппированного ряда:

2. Расчет структурных средних

a) Мода:

Мода - это наиболее часто встречающееся явление. Для дискретного ряда мода представляет значение изучаемого признака с наибольшей частотой. На практике мода применяется при определении, например, размеров одежды, обуви, других товаров, пользующихся наибольшим спросом, наиболее распространенной цены на тот или иной товар на рынке, и т.д.

Пример:

Число детей	Количество семей
Xi	fi
2	4
3	10
4	_12_	Мода = 4
5	3

Если ряд интервальный:

1) по максимальной частоте выявляется модальный интервал;

2) модальное значение находится внутри модального интервала и определяется по формуле:

где Х_Мо- начало модального интервала;

I_МО- величина модального интервала;

f_МО-1, f_МО, f_МО+1 - частоты предмодального, модального и послемодального интервала.

Графический способ нахождения Моды.

Заключается в построении гистограммы по имеющимся частотам, нахождение наиболее часто встречающегося интервала и вычисление Моды.

f

х

Мода и средняя величина по-разному характеризуют совокупность. Мода определяет непосредственно размер признака, свойственный хотя и значительной части, но не всей совокупности. Мода по своему обобщающему значению менее точна по сравнению со средней арифметической, характеризующей совокупность в целом с учетом всех без исключения элементов совокупности.

b) Медиана

Медиана - это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части.

Графически:

Частоты

Наблюдения

Для симметричного распределения Ме=Мо.

Существует кривая распределения. Медиана на оси абцисс - это точка, в которой ордината делит площадь на две равные части.

Одна часть имеет значения вариант меньше срединного значения (медианы), другая больше.

Для дискретного ранжированного ряда, т. е. упорядоченного по возрастанию или убыванию

а) с нечетным числом членов медианой является центральное значение.

Номер наблюдения	1	2	3	4	5	6	7
Возраст студентов (лет)	17	18	18	19	20	21	20
				Медиана

Медиана = 19 лет

Хср= (17+18+18+19+20+21+20)/7 = 19,6 лет

Номер элемента медианы = (n+1)/2.

б) При четном числе членов медианой является среднее арифметическое из двух смежных центральных вариант.

Для дискретного ранжированного ряда с вариантами Х=(1, 3, 4, 5, 7, 9)

Ме = (4+5)/2 = 4,5

В общем виде для дискретного ранжированного ряда Медиана рассчитывается по формуле:

Ме = (Х_n/2 + X _n/2+1)/ 2

Для интервального ряда:

1. Располагаем варианты по ранжиру.

2. Определяем для ранжированного ряда накопленные частоты.

3. По накопленным частотам находим медианный интервал. Медианным интервалом называется такой, где накопленная частота больше или равна половине всех частот f_i /2.

4. Находим медиану по формуле

где:

Хме - нижняя граница варианты медианного интервала,

Iме - величина медианного интервала,

- полусумма накопленных частот,

S_Ме-1 - накопленные частоты перед медианным интервалом,

f_Ме - частота медианного интервала.

Пример.

Добыча угля (в тыс. тонн)	Доля шахт в процентах	Удельный ряд накопленных частот
Варианты – Хi	Частоты – fi	Si
101-300	2,6%	2,6%
301-500	8,8%	2,6+8,8=11,4%
501-1000	25,0%	11,4+25 = 36,4%
1001-2000	39,3% Модальная строка	36,4+39,3=75,7% Медианная строка
2001-выше	24,3%	75,7+24,3=100%
	Всего: 100%

Модальный интервал находится в пределах интервала 1001-2000, т. к. максимальная частота равна 39,3.

Мо =	1001	+	1000	*	(39,3-25)/(39,3-25+39,4-24,3)	=	1489,05 тыс. тонн
	Начало интервала		Величина интервала		Доля на отрезке – модальном интервале

Медианный интервал также находится в пределах интервала 1001-2000, т. к. сумма накопленных частот в этом интервале равна 75,7 и превышает полусумму накопленных частот (fi/2=100/2=50)

Медиана находится внутри интервала 1001-2000 и равняется началу интервала плюс какая-то часть до середины всей совокупности (в нашем случае до 50 процентов).

Ме =	1001	+	1000	*	(50-36,4)/39,4	=	1346,2 тыс. тонн
	Начало интервала		Величина интервала		Доля на отрезке

Медиану следует применять в качестве средней, если совокупность неоднородна, велико значение крайних величин. В случае больших колебаний варьирующего признака средняя арифметическая учитывает крайние величины.