|
Санкт-петербургский государственный политехнический университет кафедра высшей математики
А.П. Потапов
|
|
М А Т Е М А Т И К А Линейная алгебра и аналитическая геометрия |
|
З А Д А Ч Н И К |
|
|
|
|
|
|
2011 год
Оглавление.
Глава 1. Линейная алгебра.
Тема 1. Определители.
Тема 2. Матрицы.
Тема 3. Системы линейных уравнений.
Глава 2. Векторная алгебра.
Тема 1. Линейные действия с векторами.
Тема 2. Умножение векторов.
Тема 3. Прямоугольная декартова система координат.
Глава 3. Аналитическая геометрия на плоскости.
Тема 1. Уравнение линии на плоскости.
Тема 2. Геометрические задачи на прямую на плоскости.
Тема 3. Кривые 2-го порядка.
Глава 4. Аналитическая геометрия в пространстве.
Тема 1. Уравнения линий и поверхностей в пространстве.
Тема 2. Прямая и плоскость в пространстве.
Тема 3. Поверхности 2-го порядка.
О Т В Е Т Ы.
Глава 1. Линейная алгебра.
Тема 1. Определители.
. Вычислить определители 2-го порядка (довести до числового значения).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
. Вычислить определители 3-го порядка:
− № 1 ÷ 8 - используя разложение по строке или столбцу;
− № 9 ÷ 16 - используя свойства определителей.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
. Вычислить определители 4-го порядка.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
Дополнительные задачи.
44. Найти
многочлен: P(λ)
=
и вычислить его корни.
45. Для
матрицы A =
вычислить:
+
+ … +
и
+
+
+
,
где i ≠ j
(
- алгебраическое дополнение элемента
).
Вычислить определители n -го порядка:
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
= min
{i,j}
55.
= max
{i,j}
Тема 2. Матрицы.
.
Выполнить действия над матрицами.
56.
(3A - 2B)C
= ? A =
,
B =
,
C =
57.
B(A
+ 3C) = ? A =
,
B=
,
C =
58.
A(2E
+ 3B) = ? A =
,
B =
59.
(2A - 3E)B
= ? A =
,
B =
60.
AB
- BA
= ? A =
,
B =
61.
f(A) = ? f(x) = 3x2
- 2x + 3, A =
62.
f(A) = ? f(x) = -2x2
+ 3x - 5, A =
63.
f(A) = ? f(x) = -2x2
- 3x + 2, A =
64.
f(A) = ? f(x) = 3x2
+ 2x - 4, A =
65.
f(A) = ? f(x) = 2x2
- 4x + 3, A =
. Найти обратную матрицу A-1 и сделать проверку.
66.
A =
67.
A =
68.
A =
69.
A =
70.
A =
71.
A =
72.
A =
73. A
=
. Найти ранг матрицы.
74.
A =
75.
A =
76.
A =
77.
A =
78.
A =
79.
A =
80.
A =
81.
A =
82.
A =
83.
A =
Дополнительные задачи.
Вычислить:
84.
85.
86.
Найти обратные матрицы для матрицы A n-го порядка:
87. A
=
88. A =
89. A
=
90. Составить многочлен: P
(x) = det (A
- xE)
- и
найти его
корни, если A =
- заданная треугольная матрица, E
- единичная матрица порядка n.
91. Составить многочлен: P (λ) = det(A - λE) - и найти его корни, если
A
=
,
E - единичная
матрица 3-го порядка.
92. Найти
x из условия: A2
=
,
где A =
,
- нулевая матрица 2-го порядка.
93. Найти
все решения матричного уравнения: X
2 =
,
где X - матрица 2-го порядка.
94. Найти
x из условия: A2
= E, где A
=
,
E - единичная матрица 2-го порядка.
95. Найти все решения матричного уравнения: X 2 = E, где X - матрица 2-го порядка.