2.8. Потенциальная энергия упругой деформации

Потенциальной энергией деформации называется энергия, которая накапливается в теле при его упругой деформации. При этом точка приложения внешней силы перемещается, потенциальная энергия положения груза убывает на величину, которая численно равна работе, совершённой внешней силой. Таким образом, потенциальная энергия упругой деформации U равна работе внешней силы А. Найдём величину А (рис.2.28).

Рис.2.28

Внешняя сила P_t растёт от нуля до конечного значения Р. Соответственно и деформация ∆ℓ_t растёт от нуля до конечного значения ∆ℓ. Пусть некоторой растягивающей силе P₁ соответствует деформация ∆ℓ₁. Дадим силе бесконечно малое приращение dP₁, при этом деформация получит приращение d∆ℓ₁. Очевидно, работа внешней силы на этом перемещении

dA = (P₁ + dP₁)d∆ℓ₁ ≈ P₁∙ d∆ℓ₁,

dA равна площади заштрихованной фигуры.

,

.

Теперь найдём работу внешней силы:

.

Итак, потенциальная энергия упругой деформации

. (2.36)

Если поделить U на объём образца Fℓ, получим удельную потенциальную энергию упругой деформации

. (2.37)

Потенциальная энергия деформации накапливается в обратимой форме – в процессе разгрузки тела она освобождается, превращаясь снова в энергию внешних сил и совершая работу. Таким образом, упругое тело – это аккумулятор энергии.

Глава 3. Напряжённое и деформированное

СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ. ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ

3.1. Компоненты напряжений. Виды напряжённых состояний

Центральное растяжение или сжатие бруса является самым простым видом деформации тела, когда напряжение во всех его точках одинаково (однородное напряжённое состояние). В произвольным образом нагруженном теле (рис.3.1,а) напряжение меняется от точки к точке и поэтому в произвольном сечении m-n этого тела напряжения распределены неравномерно. В этом случае при изучении распределения напряжений в окрестности произвольной точки K рассматриваемого сечения m-n мысленно вырезают бесконечно малый параллелепипед (рис.3.1,б). Ввиду его малости можно считать, что по граням напряжения распределены равномерно. На рис.3.1,в показаны напряжения, действующие по граням бесконечно малого параллелепипеда.

а б в

Рис.3.1

σ_х – нормальное напряжение, действующее по направлению оси x; положительное при растяжении, отрицательное при сжатии;

τ_ху – касательное напряжение, действующее по площадке с нормалью х (первый индекс) в направлении оси у (второй индекс); положительно, если стремится развернуть элемент по часовой стрелке (глядя со стороны положительного направления оси).

На рис.3.1,в нормальные напряжения σ_х, σ_у и σ_z положительные, касательные напряжения τ_ху < 0, τ_ух > 0. Под действием приложенных к нему напряжений элемент должен находиться в равновесии, следовательно, для него можно записать уравнения статики. Покажем напряжения, дающие момент относительно оси OZ (рис.3.2) и запишем соответствующее уравнение статики:

∑ M_oz = 0: ; (3.1)

τ_ух = τ_ху..

Рис.3.2

Учитывая правило знаков, перепишем формулу (3.1)

– τ_ху = τ_ух, – τ_zx = τ_xz, – τ _zy = τ_yz. (3.2)

Формула (3.2) выражает закон парности касательных напряжений: на любых взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения с одноимёнными индексами равны по величине и вращают элемент в противоположные стороны.

Таким образом, шесть независимых компонентов напряжений σ_х, σ_у, σ_z, τ_ху, τ_ух, τ_zx – характеризуют напряжённое состояние в точке.

Напряжённым состоянием в точке называется совокупность напряжений, действующих по всевозможным площадкам, проведённым через эту точку.

При повороте бесконечно малого параллелепипеда меняются компоненты напряжённого состояния. Всегда можно найти такое его положение, что по граням (площадкам) параллелепипеда будут действовать только нормальные напряжения. Такие площадки называются главными, а нормальные напряжения, по ним действующие, называются главными нормальными напряжениями (рис.3.3).

Рис.3.3

Это положение доказывается в теории упругости. Главные нормальные напряжения принято обозначать цифровыми индексами по следующему правилу: σ₁ > σ₂ > σ₃. Соблюдение этого правила важно с точки зрения расчёта на прочность. Например: три главных напряжения имеют значения 120 МПа, – 50МПа и – 30 МПа; их надо записать σ₁ = 120 МПа, σ₂ = – 30 МПа и σ₃ = – 50 МПа.

Напряжённое состояние в точке классифицируется на три вида: линейное (одноосное), плоское (двухосное) и объёмное (трёхосное) в зависимости от того, испытывает ли параллелепипед растяжение (сжатие) в одном, двух или трёх взаимно перпендикулярных направлениях (рис.3.4).

а б в

Рис.3.4