ЛР №9-МЕТОДИЧКА
.DOC|
ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ |
КАФЕДРА ЕКОНОМІЧНОЇ КІБЕРНЕТИКИ |
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №9
Тема: Специфікація економетричної моделі.
Мета роботи: Навчитися знаходити найкращий вид аналітичної функції, що відповідає вибірковим даним.
Задача. На основі статистичних даних фактора Х та Y (дані умовні), знайти найкращий вид математичної функції, який відображає залежність фактора Y від фактора Х з використанням основних характеристик. Вихідні дані та їх перетворення дані в таблиці 1.
Таблиця 1
|
і |
Y(i) |
Х(і) |
Х2(і) |
1/Х(і) |
ln(X) |
ln(Y) |
Yp |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0,736 |
|
2 |
2 |
2 |
4 |
0,500 |
0,693 |
0,693 |
2,619 |
|
3 |
3 |
3 |
9 |
0,333 |
1,099 |
1,099 |
5,503 |
|
4 |
10 |
4 |
16 |
0,250 |
1,386 |
2,303 |
9,321 |
|
5 |
20 |
5 |
25 |
0,200 |
1,609 |
2,996 |
14,026 |
|
6 |
21 |
6 |
36 |
0,167 |
1,792 |
3,045 |
19,587 |
|
7 |
30 |
7 |
49 |
0,143 |
1,946 |
3,401 |
25,976 |
|
8 |
40 |
8 |
64 |
0,125 |
2,079 |
3,689 |
33,174 |
|
9 |
42 |
9 |
81 |
0,111 |
2,197 |
3,738 |
41,161 |
|
10 |
45 |
10 |
100 |
0,100 |
2,303 |
3,807 |
49,922 |
|
11 |
50 |
11 |
121 |
0,091 |
2,398 |
3,912 |
59,443 |
|
пр |
|
12 |
|
|
|
|
69,713 |
де Х – порядковий номер місяця,
Y – роздрібний товарообіг.
Розв’язання:
Специфікуємо модель наступними функціями:
1)лінійною
;
2)параболічною
;
3)гіперболічною
;
4)логарифмічною
;
5)степеневою
;
6)експоненціальною
.
Дані функції шляхом логарифмування та подальшої заміни змінних легко зводиться до лінійної. Тому всі необхідні перетворення та обчислення будемо робити в таблиці 1.
Розрахунки (за допомогою функції ЛИНЕЙН) дають наступні результати:
1)лінійна функція (застосовуємо функцію ЛИНЕЙН до стовпців Y та Х):
|
5,490909 |
-8,94545 |
|
0,303998 |
2,061818 |
|
0,973154 |
3,188363 |
|
326,2464 |
9 |
|
3316,509 |
91,49091 |
Маємо
функцію
з наступними параметрами:
R2=0,97315;
E=3,18836;
F=326,246.
2)параболічна функція (застосовуємо функцію ЛИНЕЙН до Y та ХХ2):
|
0,048951 |
4,903497 |
-7,67273 |
|
0,114147 |
1,406374 |
3,67192 |
|
0,973757 |
3,343557 |
#Н/Д |
|
148,4236 |
8 |
#Н/Д |
|
3318,565 |
89,43497 |
#Н/Д |
Маємо
функцію
з наступними параметрами:
R2=0,97376;
E=3,67192;
F=148,424.
3)гіперболічна функція (застосовуємо функцію ЛИНЕЙН до стовпців Y та 1/Х):
|
-50,042 |
37,73824 |
|
15,53088 |
5,845047 |
|
0,535649 |
13,26025 |
|
10,3819 |
9 |
|
1825,493 |
1582,507 |
Маємо
функцію
з наступними параметрами:
R2=0,53565;
E=13,2602;
F=10,3819.
4) логарифмічна функція (застосовуємо функцію ЛИНЕЙН до стовпців Y та ln(X)):
|
22,6328 |
-12,0115 |
|
3,359911 |
5,854713 |
|
0,834484 |
7,916776 |
|
45,37546 |
9 |
|
2843,922 |
564,078 |
Маємо
функцію
з наступними параметрами:
R2=0,83448;
E=7,91678;
F=45,3755.
5) степенева функція:
Застосовуємо функцію ЛИНЕЙН до стовпців ln(Y) та ln(X):
|
1,831546 |
-0,30684 |
|
0,123933 |
0,215955 |
|
0,960423 |
0,292015 |
|
218,4063 |
9 |
|
18,62417 |
0,767457 |
Отримаємо
наступну функцію:
.
Причому,
.
Знайдемо
коефіцієнт
.
Отже,
маємо функцію
з наступними параметрами:
R2=0,96042;
E=0,29201;
F=218,406.
6) експоненціальна функція:
Застосовуємо функцію ЛИНЕЙН до стовпців ln(Y) та Х:
|
0,391904 |
0,255945 |
|
0,050221 |
0,340613 |
|
0,871239 |
0,526718 |
|
60,89679 |
9 |
|
16,89473 |
2,49689 |
Отримаємо
наступну функцію:
.
Причому,
.
Знайдемо
коефіцієнт
.
Отже,
маємо функцію
з наступними параметрами:
R2=0,87124;
E=0,52672;
F=60,8968.
Всі значення параметрів R2, E та F запишемо в окрему таблицю та по цим параметрам знайдемо ту функцію, яка найкраще відповідає вибірковим даним:
|
№ |
Вид функції |
R2 |
Е |
F |
|
1 |
лінійна |
0,97315 |
3,1883 |
326,246 |
|
2 |
параболічна |
0,97376 |
3,6739 |
148,424 |
|
3 |
гіперболічна |
0,53565 |
13,2602 |
10,381 |
|
4 |
логарифмічна |
0,83448 |
7,9167 |
45,375 |
|
5 |
степенева |
0,96042 |
0,2920 |
218,406 |
|
6 |
експоненціальна |
0,87124 |
0,5267 |
60,896 |
Як видно
з таблиці, згідно коефіцієнту детермінації
R2,
найкращими функціями будуть (1), (2) та
(5); найменшу помилку мають функції (5) та
(6); і, нарешті, найбільше значення критерію
Фішера – функції (1) та (5). Підсумовуючи
все вище сказане, можна зробити висновок,
що “найкращою” функцією для даної
вибірки буде функція (5), або степенева
функція. Її вигляд
.
Отже, специфікувавши дану вибірку
степеневою функцією, ми отримаємо
найкращі результати. Таким чином, будемо
проводити економетричний аналіз та
знаходити прогнозне значення при і=12
для степеневої функції.
Результати економетричного аналізу:
1. Так як, Fтаб = 5,1174 < F, то отримана модель достовірна з ймовірністю 0,95.
2. Коефіцієнт детермінації R2=0,96042 говорить про те, що 96,04% вибіркових даних підпорядковуються отриманій регресії.
3. Перевіримо на достовірність коефіцієнти. Для цього обчислимо критерій Стьюдента для вибірки та відповідні критерії для коефіцієнтів моделі. Будемо мати:
tтаб=2,2622; ta1=14,779; ta0=3,4070.
Так як, і ta1>tтаб, і ta0>tтаб, то обидва коефіцієнти і а1, і а2 достовірні з ймовірністю 0,95.
4.При зміні фактора Х на 1 у.о. Y зміниться на 0,73577 у.о.
5.Обчислимо прогнозне значення Y у точці прогнозу при і=12 та знайдемо інтервальний прогноз у цій точці: Yпр=69,7125.
Для знаходження інтервального прогнозу спочатку знайдемо інтервальний прогноз для функції Y1 = a0 + a1X1, де Y1=ln(Y), X1=ln(X), а, потім, виконавши обернене перетворення, перейдемо до шуканої степеневої функції. Отже, для лінійної функції, похибка прогнозу буде: ΔY1=0,7341. Використовуючи обернене перетворення, знайдемо похибку прогнозу для степеневої функції: ΔY=еΔY1=2,0835. Значить, прогнозне значення Yпр=69,7125 буде знаходитися в межах Ymin=67,629 до Ymax=71,796.
Коефіцієнт еластичності знайдемо за формулою:
k=Xcln(a1) = 0,963.
Тобто, зміна фактора Х на 1% викличе зміну Y на 0,963%.
Графічно, результати розрахунку можна представити так:
Варіанти для самостійної роботи
(вихідні бази даних фактора Х та Y)
Задача.
За
даними вибірки, знайти найкращий вид
функції, який відповідає даним
(специфікувавши вибіркові дані функціями,
які були розглянуті в лабораторній
роботі). Зробити економетричний аналіз.
Знайти прогноз в точці при Xпр
=
12. Побудувати графік функції
,
яка найкраще відповідає даній регресії.
Таблиця 1
|
№ |
X(i) |
Y1(i) |
Y2(i) |
Y3(i) |
Y4(i) |
Y5(i) |
Y6(i) |
Y7(i) |
Y8(i) |
|
1 |
1 |
1,5 |
1 |
0,7 |
6 |
2 |
0,5 |
1,2 |
1,5 |
|
2 |
2 |
2 |
3 |
0,8 |
3 |
4 |
0,6 |
1,2 |
2,8 |
|
3 |
3 |
2,5 |
4,5 |
0,9 |
1,5 |
5,5 |
1,5 |
1,3 |
3 |
|
4 |
4 |
3 |
5,2 |
1 |
0,7 |
6,3 |
3,8 |
1,4 |
3 |
|
5 |
5 |
3,4 |
5,8 |
1,4 |
0,5 |
6,4 |
5,2 |
1,8 |
2,9 |
|
6 |
6 |
4,2 |
5 |
2 |
0,8 |
5,8 |
6,4 |
2,8 |
2,8 |
|
7 |
7 |
5 |
5,1 |
2,8 |
1,9 |
4,5 |
6,8 |
4,2 |
4 |
|
8 |
8 |
5,2 |
5,2 |
3,5 |
3 |
3 |
6,9 |
5,1 |
6 |
|
9 |
9 |
5,7 |
5,25 |
5,6 |
5 |
1 |
6,91 |
6,5 |
6,8 |
|
10 |
10 |
6,3 |
5,3 |
7,5 |
7,8 |
0,5 |
6,92 |
7,5 |
6,9 |
|
11 |
11 |
7 |
5,5 |
8 |
8 |
0,2 |
7 |
7,8 |
7,2 |
|
пр |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
X(i) |
Y9(i) |
Y10(i) |
Y11(i) |
Y12(i) |
Y13(i) |
Y14(i) |
Y15(i) |
|
|
1 |
1 |
7,6 |
1 |
3 |
0,5 |
8,6 |
0,7 |
2,5 |
|
|
2 |
2 |
7,8 |
3 |
5,2 |
1,2 |
7,5 |
0,9 |
3,2 |
|
|
3 |
3 |
6,5 |
4,5 |
5,4 |
1,8 |
6,8 |
1,5 |
3,8 |
|
|
4 |
4 |
5 |
5,2 |
5,9 |
2,9 |
6,6 |
2,9 |
4,0 |
|
|
5 |
5 |
1,8 |
5,8 |
6,1 |
3,5 |
6,2 |
5,3 |
4,1 |
|
|
6 |
6 |
1 |
5 |
6,2 |
5,2 |
6,3 |
4,6 |
3,9 |
|
|
7 |
7 |
0,8 |
5,1 |
6,4 |
6,8 |
5,1 |
4,2 |
4,1 |
|
|
8 |
8 |
0,6 |
5,2 |
6,3 |
9,4 |
4,5 |
3,8 |
4,3 |
|
|
9 |
9 |
0,5 |
5,25 |
6,8 |
10,9 |
4,8 |
3,5 |
4,5 |
|
|
10 |
10 |
0,4 |
5,3 |
6,6 |
15,4 |
4,7 |
2,1 |
5,2 |
|
|
11 |
11 |
0,3 |
5,5 |
6,5 |
19,2 |
4,2 |
1,1 |
4,9 |
|
|
пр |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Література:4(с.116-133),7(с.176-178),12(с.100-103).