Модель парної лінійної регресії

Проста (парна) лінійна регресія встановлює лінійну залежність між двома змінними.

- змінна (у) вважається залежною змінною (екзогенна, регресант, результативна змінна, відгук) і розглядається як функція від другої (х) незалежної змінної ендогенна, пояснювальна, регресор).

Проста лінійна модель:

(1)

Величина у={у1,у2…, уn} складається з двох складових:

1) невипадкової складової α+βх, де х={х1,х2,..., хn}, α і β – параметри рівняння;

2) випадкова складова (збурення, помилки) u={u1,u2,..,un}.

Рис. 1. Фактична залежність між у і х

Задача регресійного аналізу полягає в знаходженні оцінок α і β і, як наслідок, у визначенні прямої за точками А₁,А₂, ..., А_n.

Основні причини існування збурення:

1. Невключення в модель пояснювальних змінних.

2. Агрегування змінних.

3. Неправильний опис структури моделі.

4. Неправильна функціональна специфікація.

5. Помилки вимірювання.

Діаграма розсіювання регресійної функції

Для аналізу залежності між двома змінними використовують діаграму розсіювання, яка є графічною формою представлення інформації у прямокутній системі координат.

Діаграма розсіювання є геометричною формою систематизації інформаційної бази процесу дослідження.

За шириною розкиду точок можна зробити висновок про тісноту зв’язку сукупності: якщо точки розміщені близько одна до одної (у вигляді вузької смужки), то можна стверджувати про наявність відносно тісного зв’язку; якщо точки на діаграмі розкидані широко, то має місце слабкий зв’язок між змінними

- кожному значенню пояснювальної змінної відповідає розподіл значень залежної змінної і навпаки;

- з’ясувати якою буде дія головних факторів-аргументів на залежну змінну, якщо б інші (другорядні, побічні) не змінювались і знаходились на одному й тому середньому рівні. Для цього визначають функцію регресії у вигляді математичного рівняння того чи іншого вигляду.

Процес знаходження функції регресії називають вирівнюванням окремих значень залежної змінної.

Побудова регресії та визначення впливу пояснювальних змінних на залежну змінну – друга задача регресійного аналізу.

Припустимо, що за виглядом діаграми розсіювання встановимо лінійний характер залежності усереднених значень результативної змінної. Ця залежність опишемо за допомогою оціночної функції лінійної регресії:

, (2)

де a та b відповідно є оцінками параметрів α та β рівняння (1).

Знак «^» над у означає оцінку залежної змінної, отриману з рівняння (2) при деяких усереднених умовах.

Під простою регресією розуміється одностороння стохастична залежність результативної змінної від однієї пояснювальної змінної.

Рис. 4. Регресійна пряма та її параметри

При лінійній функції сукупність розрахункових значень утворює пряму регресії.

Значення функції регресії таким чином є оцінками середніх значень змінної у для кожного фіксованого значення змінної х.

- економічна інтерпретація : значення регресії показують середнє значення залежної змінної у при заданому х_і пояснювальної змінної у припущенні, що єдиною причиною зміни у є змінна х, а випадкова збурена змінна u набула значення, рівне нулю.

- чим менше значення е_і, тим більш вдало вибрана пряма.