лаб. раб. 7
.docЛабораторная работа № 7.
Вычисление определённого интеграла с помощью
формулы Симпсона и формул Ньютона–Котеса
1. Вычислить определённый интеграл с точностью ε методом Симпсона используя:
а) соответствующие формулы;
б) с помощью макрос функций. Вариант задания выбрать из табл. 1.
2. Вычислить интеграл с помощью квадратурной формулы Ньютона–Котеса для п = 5. Вариант задания выбрать из табл. 2.
Таблица 1
|
№ варианта |
Интеграл |
ε |
Шаг h |
|
1 |
|
0,001 |
0,1 |
|
2 |
|
0,0001 |
0,1 |
|
3 |
|
0,01 |
0,2 |
|
4 |
|
0,001 |
0,2 |
|
5 |
|
0,0001 |
0,2 |
|
6 |
|
0,01 |
0,1 |
|
7 |
|
0,001 |
0,1 |
|
8 |
|
0,0001 |
0,05 |
|
9 |
|
0,01 |
0,05 |
|
10 |
|
0,001 |
0,05 |
|
11 |
|
0,0001 |
0,1 |
|
12 |
|
0,01 |
0,1 |
|
13 |
|
0,001 |
0,05 |
|
14 |
|
0,0001 |
0,1 |
|
15 |
|
0,01 |
0,2 |
|
16 |
|
0,001 |
0,1 |
|
17 |
|
0,0001 |
0,2 |
|
18 |
|
0,01 |
0,1 |
|
19 |
|
0,001 |
0,3 |
|
20 |
|
0,0001 |
0,2 |
|
21 |
|
0,001 |
0,1 |
|
22 |
|
0,0001 |
0,1 |
|
23 |
|
0,0001 |
0,2 |
|
24 |
|
0,001 |
0,2 |
Таблица 2
|
xi |
Варианты значений уi |
||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
0 |
-0,4 |
-6,0 |
-0,8 |
-0,5 |
1,9 |
-1,8 |
-6,7 |
1,0 |
-3,0 |
0,0 |
1,0 |
-3,0 |
0,0 |
1,0 |
-3,0 |
|
0,1 |
0,2 |
-5,1 |
-0,6 |
-0,3 |
0,7 |
0,6 |
-5,2 |
1,0 |
-2,7 |
0,1 |
0,5 |
-1,5 |
0,5 |
1,0 |
-2,7 |
|
0,2 |
0,7 |
-4,2 |
-0,4 |
-0,2 |
-1,8 |
-1,5 |
-3,1 |
0,9 |
-2,4 |
0,2 |
-0,4 |
0,0 |
0,8 |
0,9 |
-2,4 |
|
0,3 |
1,0 |
-3,3 |
-0,1 |
0,0 |
-1,0 |
0,3 |
-0,8 |
0,8 |
-2,1 |
0,3 |
-1,0 |
1,5 |
1,0 |
0,8 |
-2,1 |
|
0,4 |
0,9 |
-2,4 |
0,2 |
0,1 |
1,7 |
-1,1 |
1,6 |
0,7 |
-1,8 |
0,4 |
-0,7 |
3,0 |
0,9 |
0,7 |
-1,8 |
|
0,5 |
0,5 |
-1,5 |
0,5 |
0,2 |
1,2 |
-0,1 |
3,8 |
0,5 |
-1,5 |
0,5 |
0,3 |
4,5 |
0,6 |
0,5 |
-1,5 |
|
0,6 |
0,0 |
-0,6 |
0,7 |
0,4 |
-1,5 |
-0,7 |
5,7 |
0,4 |
-1,2 |
0,6 |
1,0 |
6,0 |
0,1 |
0,4 |
-1,2 |
|
0,7 |
-0,6 |
0,3 |
0,9 |
0,5 |
-1,4 |
-0,5 |
7,1 |
0,2 |
-0,9 |
0,6 |
0,8 |
7,5 |
-0,4 |
0,2 |
-0,9 |
|
0,8 |
-0,9 |
1,2 |
1,0 |
0,6 |
1,3 |
-0,3 |
7,9 |
0,0 |
-0,6 |
0,7 |
-0,1 |
9,0 |
-0,8 |
0,0 |
-0,6 |
|
0,9 |
-1,0 |
2,1 |
1,0 |
0,8 |
1,6 |
-0,9 |
7,9 |
-0,2 |
-0,3 |
0,8 |
-0,9 |
10,5 |
-1,0 |
-0,2 |
-0,3 |
|
1,0 |
-0,7 |
3,0 |
0,9 |
0,8 |
-1,1 |
0,1 |
7,3 |
-0,4 |
0,0 |
0,8 |
-0,8 |
12,0 |
-1,0 |
-0,4 |
0,0 |
|
xi |
Варианты значений уi |
||||||||
|
|
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
|
0 |
-0,5 |
-6,7 |
-0,8 |
-3,0 |
1,9 |
-0,4 |
-6,1 |
-0,8 |
-0,5 |
|
0,1 |
-0,3 |
-5,2 |
-0,6 |
-2,7 |
0,7 |
0,3 |
-5,1 |
-0,5 |
-0,4 |
|
0,2 |
-0,2 |
-3,1 |
-0,4 |
-2,4 |
-1,8 |
0,7 |
-4,3 |
-0,4 |
-0,2 |
|
0,3 |
0,0 |
-0,8 |
-0,1 |
-2,1 |
-1,0 |
1,1 |
-3,3 |
-0,1 |
0,0 |
|
0,4 |
0,1 |
1,6 |
0,2 |
-1,8 |
1,7 |
0,9 |
-2,4 |
0,3 |
0,1 |
|
0,5 |
0,2 |
3,8 |
0,5 |
-1,5 |
1,2 |
0,5 |
-1,6 |
0,5 |
0,2 |
|
0,6 |
0,4 |
5,7 |
0,7 |
-1,2 |
-1,5 |
0,1 |
-0,6 |
0,7 |
0,4 |
|
0,7 |
0,5 |
7,1 |
0,9 |
-0,9 |
-1,4 |
-0,6 |
0,4 |
0,9 |
0,5 |
|
0,8 |
0,6 |
7,9 |
1,0 |
-0,6 |
1,3 |
-0,9 |
1,2 |
1,1 |
0,6 |
|
0,9 |
0,8 |
7,9 |
1,0 |
-0,3 |
1,6 |
-1,1 |
2,2 |
1,1 |
0,7 |
|
1,0 |
0,8 |
7,3 |
0,9 |
0,0 |
-1,1 |
-0,7 |
3,0 |
0,9 |
0,8 |
|
|
|||||||||
Примеры.
Пример 1. Вычислить по формуле Симпсона (6.16) интеграл
,
используя разбиение отрезка на п = 10 частей.
Решение в программе Excel.
В столбцах А и В запишем значения индекса i и переменной х. В ячейку С2 вводим формулу = 1/В2 и маркером заполнения копируем в С3:С12. В ячейках D2:D12 вводим коэффициенты при yi общей формулы Симпсона (6.16).
В ячейку D13 вводим формулу = СУММПРОИЗВ(С2:С12; D2:D12)* 0,1/3.
Результаты вычислений приведены в табл. 3.
Таблица 3
|
|
А |
В |
С |
D |
|
1 |
i |
хi |
yi |
Коэффициенты |
|
2 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
3 |
1 |
1,1 |
0,909091 |
4 |
|
4 |
2 |
1,2 |
0,833333 |
2 |
|
5 |
3 |
1,3 |
0,769231 |
4 |
|
6 |
4 |
1,4 |
0,714286 |
2 |
|
7 |
5 |
1,5 |
0,666667 |
4 |
|
8 |
6 |
1,6 |
0,625 |
2 |
|
9 |
7 |
1,7 |
0,588235 |
4 |
|
10 |
8 |
1,8 |
0,555556 |
2 |
|
11 |
9 |
1,9 |
0,526316 |
4 |
|
12 |
10 |
2 |
0,5 |
1 |
|
13 |
|
Интеграл = |
|
0,693150231 |
Найдем относительную погрешность
=
0,000004 .
Создадим в файле программы Excel макрос – функцию для вычисления интеграла по формуле Симпсона (6.16).
С помощью меню «Сервис – Макрос – Редактор Visual Basic» откроем окно редактора, выполним команду «Insert – Module» и введем программы
Function f(x): f = 1 / х: End Function
Function Int_Simpson (a, b, n)
s = 0: h = (b - a)/ n: h2 = h * 2: х = а
For i = 0 To n - 2 Step 2
s = s + f(x) + 4 * f(x + h) + f(x + h2): x = x + h2
Next i
lnt_Simpson = h * s / 3: End Function
Теперь, если в ячейку D14 введем формулу = Int_Simpson (1; 2; 10), получим приближенное значение 0,693150231.
Пример
2.
Вычислить интеграл
с
помощью квадратурной формулы Ньютона–Котеса
для п
= 5
.
используя
разбиение отрезка на п
= 10 частей.
Решение в программе Excel.
В столбце А и В запишем значения индекса i и переменной х. В ячейку С2 вводим формулу = 1/В2 и маркером заполнения копируем в С3:С12. В ячейках D2:D12 вводим коэффициенты при уi из табл. 1. В ячейку D13 вводим формулу = СУММПРОИЗВ(С2:С12; D2:D12)*0,1*5/288. Результаты вычислений приведены в табл. 4.
Таблица 4
|
|
А |
В |
С |
0 |
|
1 |
i |
хi |
yi |
Коэффициенты |
|
2 |
0 |
1 |
1 |
19 |
|
3 |
1 |
1,1 |
0,909091 |
75 |
|
4 |
2 |
1,2 |
0,833333 |
50 |
|
5 |
3 |
1,3 |
0,769231 |
50 |
|
6 |
4 |
1,4 |
0,714286 |
75 |
|
7 |
5 |
1,5 |
0,666667 |
38 |
|
8 |
6 |
1,6 |
0,625 |
75 |
|
9 |
7 |
1,7 |
0,588235 |
50 |
|
10 |
8 |
1,8 |
0,555556 |
50 |
|
11 |
9 |
1,9 |
0,526316 |
75 |
|
12 |
10 |
2 |
0,5 |
19 |
|
13 |
|
Интеграл = |
|
0,693148 |