лаб. раб № 5
.docЛабораторная работа № 5.
Разностные формулы для обыкновенных производных первого и второго порядка
1. Вычислить приближенные значения производных первого порядка с помощью разностных формул для таблично заданной функции у = f(x). Данные взять в таблице 1.
2. Вычислить приближенно значения производной первого и второго порядка функции f(x) с помощью разностных формул и сравнить с их точными значениями. Данные взять в таблице 2.
Таблица 1.
|
xi |
Варианты значений уi |
|||||||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
0 |
-0,4 |
-6,0 |
-0,8 |
-0,5 |
1,9 |
-1,8 |
-6,7 |
1,0 |
-3,0 |
0,0 |
-0,9 |
-1,7 |
|
0,1 |
0,2 |
-5,1 |
-0,6 |
-0,3 |
0,7 |
0,6 |
-5,2 |
1,0 |
-2,7 |
0,1 |
-0,7 |
0,6 |
|
0,2 |
0,7 |
-4,2 |
-0,4 |
-0,2 |
-1,8 |
-1,5 |
-3,1 |
0,9 |
-2,4 |
0,2 |
-0,4 |
-1,6 |
|
0,3 |
1,0 |
-3,3 |
-0,1 |
0,0 |
-1,0 |
0,3 |
-0,8 |
0,8 |
-2,1 |
0,3 |
-0,2 |
0,3 |
|
0,4 |
0,9 |
-2,4 |
0,2 |
0,1 |
1,7 |
-1,1 |
1,6 |
0,7 |
-1,8 |
0,4 |
0,2 |
-1,1 |
|
0,5 |
0,5 |
-1,5 |
0,5 |
0,2 |
1,2 |
-0,1 |
3,8 |
0,5 |
-1,5 |
0,5 |
0,6 |
-0,2 |
|
0,6 |
0,0 |
-0,6 |
0,7 |
0,4 |
-1,5 |
-0,7 |
5,7 |
0,4 |
-1,2 |
0,6 |
0,7 |
-0,7 |
|
0,7 |
-0,6 |
0,3 |
0,9 |
0,5 |
-1,4 |
-0,5 |
7,1 |
0,2 |
-0,9 |
0,6 |
0,9 |
-0,5 |
|
0,8 |
-0,9 |
1,2 |
1,0 |
0,6 |
1,3 |
-0,3 |
7,9 |
0,0 |
-0,6 |
0,7 |
1,0 |
-0,4 |
|
0,9 |
-1,0 |
2,1 |
1,0 |
0,8 |
1,6 |
-0,9 |
7,9 |
-0,2 |
-0,3 |
0,8 |
1,1 |
-0,9 |
|
1,0 |
-0,7 |
3,0 |
0,9 |
0,8 |
-1,1 |
0,1 |
7,3 |
-0,4 |
0,0 |
0,8 |
0,9 |
0,2 |
|
xi |
Варианты значений уi |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
|
18 |
19 |
20 |
|
21 |
22 |
23 |
24 |
|||||||
|
0 |
1,0 |
-3,0 |
0,0 |
1,0 |
-3,0 |
|
-1,8 |
-0,4 |
-6,0 |
|
-0,5 |
1,9 |
1,0 |
0,0 |
|||||||
|
0,1 |
0,5 |
-1,5 |
0,5 |
1,0 |
-2,7 |
|
0,6 |
0,2 |
-5,1 |
|
-0,3 |
0,7 |
1,1 |
0,6 |
|||||||
|
0,2 |
-0,4 |
0,0 |
0,8 |
0,9 |
-2,4 |
|
-1,5 |
0,7 |
-4,2 |
|
-0,2 |
-1,8 |
0,9 |
-0,5 |
|||||||
|
0,3 |
-1,0 |
1,5 |
1,0 |
0,8 |
-2,1 |
|
0,3 |
1,0 |
-3,3 |
|
0,0 |
-1,0 |
0,7 |
-1,0 |
|||||||
|
0,4 |
-0,7 |
3,0 |
0,9 |
0,7 |
-1,8 |
|
-1,1 |
0,9 |
-2,4 |
|
0,1 |
1,7 |
0,7 |
-0,7 |
|||||||
|
0,5 |
0,3 |
4,5 |
0,6 |
0,5 |
-1,5 |
|
-0,1 |
0,5 |
-1,5 |
|
0,2 |
1,2 |
0,5 |
0,5 |
|||||||
|
0,6 |
1,0 |
6,0 |
0,1 |
0,4 |
-1,2 |
|
-0,7 |
0,0 |
-0,6 |
|
0,4 |
-1,5 |
0,3 |
1,0 |
|||||||
|
0,7 |
0,8 |
7,5 |
-0,4 |
0,2 |
-0,9 |
|
-0,5 |
-0,6 |
0,3 |
|
0,5 |
-1,4 |
0,2 |
0,9 |
|||||||
|
0,8 |
-0,1 |
9,0 |
-0,8 |
0,0 |
-0,6 |
|
-0,3 |
-0,9 |
1,2 |
|
0,6 |
1,3 |
0,1 |
-0,1 |
|||||||
|
0,9 |
-0,9 |
10,5 |
-1,0 |
-0,2 |
-0,3 |
|
-0,9 |
-1,0 |
2,1 |
|
0,8 |
1,6 |
-0,2 |
-0,8 |
|||||||
|
1,0 |
-0,8 |
12,0 |
-1,0 |
-0,4 |
0,0 |
|
0,1 |
-0,7 |
3,0 |
|
0,8 |
-1,1 |
-0,5 |
-0,9 |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Таблица 2
|
№ |
Функция |
[a,b] |
h |
|
1 |
sin 32x |
[0,1] |
0,1 |
|
2 |
cos 22x |
[0,1] |
0,2 |
|
3 |
sin 2x cos x |
[0,1] |
0,1 |
|
4 |
sin2 x |
[0,1] |
0,1 |
|
5 |
sin (2x + x2) |
[0,1] |
0,1 |
|
6 |
cos (2 + x2) |
[0,1] |
0,1 |
|
7 |
e 3x |
[0,1] |
0,2 |
|
8 |
e x+x2 |
[0,1] |
0,1 |
|
9 |
ln (l + x3) |
[0,1] |
0,2 |
|
10 |
|
[0,1] |
0,1 |
|
11 |
x2 + sin x |
[0,1] |
0,2 |
|
12 |
sin2 x cos x |
[0,1] |
0,1 |
|
13 |
sin x + cos x |
[0,1] |
0,2 |
|
14 |
cos 2x sin x |
[0,1] |
0,1 |
|
15 |
sin (x cos x) |
[0,1] |
0,2 |
|
16 |
sin x |cos x| |
[0,1] |
0,1 |
|
17 |
sin 2x + x2 |
[0,1] |
0,2 |
|
18 |
sin 3x2 |
[0,1] |
0,1 |
|
19 |
ln |2 + x | cos x |
[0,1] |
0,2 |
|
20 |
sin 3x cos x |
[0,1] |
0,1 |
|
21 |
x2 + cos x |
[0,1] |
0,2 |
|
22 |
e 2x |
[0,1] |
0,2 |
|
23 |
cos2 x |
[0,1] |
0,1 |
|
24 |
cos2x sinx |
[0,1] |
0,1 |
Примеры.
1. Вычислить приближенно производные первого порядка с помощью разностных формул и сравнить с точными значениями производной функции у = sinπx в точках отрезка [0, 1].
Решение в Excel.
Составим таблицу значений функции у = sinπx на отрезке [0, 1] с шагом 0,1 (табл. 1).
Таблица 1
|
|
А |
В |
С |
D |
Е |
F |
|
1 |
xi |
уi = sin πxi |
Разностная Формула (5.1)
|
Разностная формула (5.2) |
Разностная формула (5.3) |
Производная π cos πxi |
|
2 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
3 |
0,1 |
0,309017 |
2,787683 |
3,09017 |
2,938926 |
2,987832 |
|
4 |
0,2 |
0,587785 |
2,212317 |
2,787683 |
2,5 |
2,541602 |
|
5 |
0,3 |
0,809017 |
.1,420395 |
2,212317 |
1,816356 |
1,846582 |
|
6 |
0,4 |
0,951057 |
0,489435 |
1,420395 |
0,954915 |
0,970806 |
|
7 |
0,5 |
1 |
-0,48943 |
0,489435 |
8.28Е-08 |
8.42Е-08 |
|
8 |
0,6 |
0,951057 |
-1,4204 |
-0,48943 |
-0,95491 |
-0,97081 |
|
9 |
0,7 |
0,809017 |
-2,21232 |
-1,4204 |
-1,81636 |
-1,84658 |
|
10 |
0,8 |
0,587785 |
-2,78768 |
-2,21232 |
-2,5 |
-2,5416 |
|
11 |
0,9 |
0,309017 |
-3,09017 |
-2,78768 |
-2,93893 |
-2,98783 |
|
12 |
1 |
5.36Е-08 |
|
|
|
|
В ячейку В2 введем формулу = SIN(A2 * 3,1415926) и протянем В2 маркером заполнения до В12.
В ячейки С3, D3, Е3 и F3 введем соответственно формулы = (В4 - В3)/(А4 - A3), = (В3 - В2)/(А3 - А2), = (В4 - В2)/(А4 - А2) и = 3,1415926 * COS (A3 * 3,1415926), выделим диапазон C3:F3 и протянем маркером заполнения до строки 11.