- •Б. В. Селюк
- •Введение
- •I. Предпосылки создания квантовой механики
- •§1. Классическая электронная теория
- •§2. Равновесное излучение. Гипотеза Планка
- •§3. Корпускулярные свойства света. Теория атома по Бору
- •§4. Волновые свойства частиц. Корпускулярно-волновой дуализм
- •II. Описание состояний микрообъектов
- •§5. Состояния микрочастиц
- •§6. Свойства амплитуд состояний
- •§7. Векторы состояний
- •III. Операторы и наблюдаемые
- •§8. Операторы
- •§9. Наблюдаемые
- •§10. Матричное и координатное представления
- •§11. Операторы координат, импульсов и их функций
- •§12. Операторы момента импульса
- •§13. Спин
- •IV. Эволюция состояний
- •§14. Уравнение Шредингера. Стационарные состояния
- •§15. Уравнение движения в форме Гейзенберга. Интегралы движения
- •§16. Переход от квантовых уравнений движения к классическим
- •§17. Квазистационарные состояния. Соотношения неопределенностей для энергии и времени
- •V. Простешие случаи движения §18. Свободное движение микрочастиц
- •§19. Движение частиц в прямоугольной потенциальной яме
- •§20. Прохождение частицы через потенциальный барьер. Туннельный эффект
- •§21. Линейный гармонический осциллятор
- •VI. Движение в центральном поле §22. Ротатор. Собственные функции и собственные значения операторов орбитального момента импульса
- •§23. Задача о движении двух частиц.
- •§24. Решение квантово-механической задачи об атоме водорода
- •§25. Энергетический спектр и пространственная структура атома водорода. Влияние спина электрона на энергетический спектр
- •VII. Теория возмущений. Атомы и молекулы §26. Теория стационарных возмущений
- •§27. Теория нестационарных возмущений
- •§28. Принцип неразличимости одинаковых частиц
- •§29. Атом гелия
- •§30. Периодическая система элементов д.И. Менделеева
- •§31. Молекула водорода
- •§32. Природа химических связей
- •Заключение
- •Литература
- •Оглавление
§28. Принцип неразличимости одинаковых частиц
Литература: [1], [8], [3], [7].
Теория возмущения применяется как при анализе движения одной частицы, так и системы частиц – многоэлектронных атомов и молекул.
Системы одинаковых микрочастиц качественно отличаются от системы одинаковых корпускул. Отличие выражается принципом неразличимости и его следствиями. Чтобы понять смысл этого принципа, рассмотрим волновую функцию, описывающую состояние системы N одинаковых микрочастиц. Такая функция должна зависеть от полных наборов Bi, определяющих состояния всех частиц системы:
= (B1, B2, …, Bi, Bk, …, BN) (Bi, Bk). (28.1)
Введем оператор перестановок , который осуществляет преобразование волновой функции системы при обмене состояниями двух частиц (i-ой и k-ой): (Bi, Bk) = (Bk, Bi). (28.2)
Найдем собственные значения оператора перестановок, то есть подберем действительные числа Pik так, чтобы выполнялось равенство:
(Bi, Bk) = Pik (Bi, Bk). (28.3)
Применим оператор к равенству (28.3):
2 (Bi, Bk) = Pik2 (Bi, Bk). (28.4)
Но, исходя из смысла самого оператора , выражаемого соотношением (28.2), можно утверждать, что двукратное применение этого оператора возвращает функции первоначальный вид:
2 (Bi, Bk) = (Bi, Bk). (28.5)
Сравнивая (28.5) и (28.4), приходим к выводу, что Pik2 = 1 и Pik = +1 или Pik = –1. Этим двум возможным собственным значениям оператора соответствуют две собственные функцииs и a:
Pik = 1 s(Bi, Bk) = s(Bk, Bi) = s(Bi, Bk) . (28.6)
Pik = –1 a(Bi, Bk) = a(Bk, Bi) = –a(Bi, Bk) . (28.7)
Волновая функция s называется симметричной, а a – антисимметричной.
Может ли система одинаковых микрочастиц описываться волновыми функциями, отличными от рассмотренных собственных функций оператора ? Постулируется, что такого быть не может. Это и утверждаетпринцип неразличимости: система одинаковых микрочастиц может описываться только симметричными или антисимметричными волновыми функциями. И в том, и в другом случаях квадрат модуля -функции не меняется при обмене частиц состояниями. Поэтому состояния системы, получающиеся посредством перестановок частиц, то есть обмена двух частиц своими состояниями, физически неразличимы. Можно сказать, что все частицы в этой системе тождественны, не имеет значения, какая именно конкретная частица оказывается в том или ином состоянии.
Принцип неразличимости согласуется с другими положениями квантовой механики и приводит к экспериментально подтверждаемым следствиям, что доказывает его истинность.
Рисунок 28.1 иллюстрирует согласие принципа неразличимости (тождественности) с корпускулярно-волновым дуализмом. Классические частицы (корпускулы) можно различить, проследив за траекториями их движения: 1A или 2B. Для микрочастиц вместо траекторий можно указать лишь расширяющиеся в пространстве трубчатые области, в которых заметна вероятность обнаружения частиц. Если в точках A и B, принадлежащих обеим указанным трубкам, обнаружены частицы, то невозможно установить, какая из них раньше находилась вблизи точки 1, а какая – вблизи точки 2.
Рис.
28.1
Из бозонов могут образовываться только бозоны. Сложная частица, состоящая из четного числа фермионов, оказывается бозоном, в то время частица, содержащая нечетное число фермионов является фермионом.
Из теоремы о разделении переменных (см. §18.) следует, что уравнению Шредингера для системы невзаимодействующих частиц удовлетворяет любая суперпозиция произведений волновых функций отдельных частиц (одно-частичных волновых функций). В качестве волновой функции системы нужно выбрать такие суперпозиции, которые бы обладали необходимой симметрией. Из этих соображений получаются выражения для волновой функции системы N частиц через одночастичные волновые функции i(Bk). Здесь i(Bk) – волновая функция k-ой частицы, находящейся в i-ом возможном состоянии. Для системы бозонов получается
s = , (28.8)
а для системы фермионов –
a = . (28.9)
Коэффициент N в этих формулах обеспечивает нормировку функции на единицу. Суммирование в (28.8) проводится по всевозможным перестановкам частиц.
Из (28.9) следует запрет (принцип) Паули: в системе одинаковых фермионов в одном одночастичном состоянии не может быть более одной частицы.
Предположим, что это не так. Пусть, например, есть состояние a 0, при котором первая и вторая частицы находятся в одном состоянии 1. Тогда выражение (28.9) должно содержать произведение 1(B1) 1(B2), что возможно лишь при равенстве двух первых строк определителя. Но такой определитель равен нулю. Это противоречит исходному утверждению a 0, что и доказывает принцип Паули.
? Контрольные вопросы
Сформулируйте принцип неразличимости одинаковых частиц и поясните смысл его названия.
Расскажите о связи принципа неразличимости с корпускулярно-волновым дуализмом и с туннельным эффектом.
Расскажите о частицах с симметричными и с антисимметричными волновыми функциями.
Докажите принцип Паули.