§ 6. Обобщенный интеграл Лебега от функций произвольных знаков

Пусть f (x) измерима на X. Введем понятия положительной и отрицательной частей функции. = f f (x), f (x) > 0, + ^(x) j 0, f (x) < 0,

Г 0, f (x) > 0, f- (x) = \

^-W 1 - f(x), f(x) < 0.

Пример

f+ (x) - f - ( x) -

f (x) - sin x, х - [0,2p].

sin x, x e [0, p], x - 2p, 0, x e (p,2p), Г 0, xe [0,p], x - 2p, 1 - sin x, x e (p,2p).

Очевидно, f (x) - f+ (x) - f_ (x), |f (x)| - f+ (x) + f_- (x).

Поскольку f+ (x), f_ (x) неотрицательны, то можно

рассматривать [L]J f+ (x)dx, [L]| f_(x)dx, поскольку

х х

f+ (x), f_ (x), очевидно, измеримы. Если хотя один из указанных интегралов конечен, то обобщенным интегралом Лебега для

f (x) называется [L]\ f+ (x)dx-[L]\ f_- (x)dx. Это значение

х х

конечно или равно ±¥. Запись: [L]J f(x)dx.

х

Таким образом, 3[L]J f (x)dx тогда и только тогда, когда

х

хотя бы одна из функций f+ (x), f_ (x) суммируема. Если обе они суммируемы, то интеграл конечен и f( x) называется

суммируемой на X. Множество этих функций обозначается L(X). В частности, можно рассматривать L[a, b]. Вопрос о суммируемости функции можно свести к рассмотрению неотрицательной функции.

Теорема

Измеримая f (x) суммируема тогда и только тогда, когда

[L]J f(x)dx < [L]J f(x)|dx.

X X

Доказательство

Поскольку | f | = f+ + f_, то и

[L]J f\dx = [L]J f+ dx + [L]J f_dx.

XXX

Конечность левой и правой частей имеет место одновременно. Неравенство следует из условий:

суммируема f (x), при этом,

f = f+ + f <

f+

+ f = f+ + f = f

Теорема доказана.

Как и для неотрицательных функций, измеримая ограниченная функция суммируема и [ L]J f (x)dx = (L) J f (x)dx.

XX

Свойства суммируемых функций:

10. Суммируемая функция почти всюду конечна.

20. На множестве меры нуль суммируема любая функция и интеграл равен нулю.

3⁰. f(x) е L(X), Y с X- измеримо^ f(x) е L(Y). 4⁰. f(x), g(x) е L(X), \f(x)\ <| g(x)\ ^

[L]J f\dx < [L]J g|dx.

X

X

Эти свойства вытекают из теоремы и свойств неотрицательных суммируемых функций.

5⁰. Если f (x), g(x) измеримы на X, |f(x)| < g(x), xe X, и g(x) e L(X), то f(x) e L(X).

Вытекает из свойств §5 (см. стр.180).

6⁰. Если f (x)~g(x), то 3[L]j fdx^ $[L]jgdx, причем эти

X X

интегралы равны.

Доказательство

Очевидно, f (x) ~ g(x) ^ f+ (x) ~ g+(x) и f_ (x) ~g— (x). Отсюда вытекает утверждение. В частности, f (x) e L(X) g(x) e L(X).

7⁰. (Конечная аддитивность интеграла).

n

Пусть X = У X_t, i Ф j ^ X_tП Xj = 0, X_t измеримы.

i=1

Тогда f (x) e L( X_t), i = 1 n ^ f (x) e L( X), причем [L]j f(x)dx = ££[L] j f(x)dx.

X ⁱ=¹ X_i

Доказательство

По свойствам суммируемых неотрицательных функций f+ (x) e L( X), f_— (x) e L( X)

и [L]j f+ (x)dx = ££[L] j f+ (x)dx,[L]j f— (x)dx = ££[L] j f_(x)dx.

X ⁱ=¹ X_t X ⁱ=¹ X_t

Вычитая эти равенства, получаем нужное соотношение.Замечание

Счетная аддитивность не выполняется:

f (x) е L(X,) ^ f(x) е L(X).

Пример

11

n +Г n

X = [ 0,1 ], Xn =

2n +1 1

n < x £

' 2n(n +1) ~n

f ( x)

n е N

1 ^ 2n + 1

f( x) е L

n +1' n несуммируема:

-n, < x £

'n + 1 2n(n +1) 1 1"

, [ L] J f( x) = 0, но на (0,1] f (x)

^л+Г

n

= +¥ .

[L] J| f(x)|dx = £[L] J |f(x)|dx = £-+T =

(0,1] n=1 f1 ⁿ=^{l n} + ¹

n+1 n

Полная аддитивность имеет место «в обратную сторону».

8⁰. Если f(x) е L(X), X = u X_n, i Ф j ^ X,п X_t = 0, X, -

n=

1

измеримы, то [L]J f(x)dx = £[L] J f(x)dx.

n=1 X

Доказательство

Суммируемость f(x) на X_n вытекает из 3⁰, равенство - из свойств неотрицательных суммируемых функций и представления f (x) = f+ (x) - f_- (x).

При выполнении простого дополнительного условия можно обеспечить полную аддитивность интеграла.

X

18

9

9⁰. Если X = Q Х_п, i Ф j ^ X_tр| Xj = 0, Х_п - измеримы,

Л=1

/(л)е L(Х_п) и L] j f(x)|dx<+¥, то /(л)е L(X) и

п=1 X

[L]j /(x)dx = £[L] j /(x)dx.

X ^п=¹ X_a

Доказательство

В силу полной аддитивности интеграла для неотрицательных функций,

[L]j /(x) | dx =2 [L] J| f (x) | dx <+¥ ^

X ^п=¹ X„

T

^ I f(x)| е L( x) ^ f(x) е L(x). Остается применить 8⁰.

Рассмотрим свойства, связанные с арифметическими операциями над функциями.

10⁰. /(x)е L(X),1e R^ If е L(X),[L]jlf(x)dx = 1[L]j /(x)dx.

X X

Доказательство

1. При l = 0, очевидно, что это свойство верно.

2. 1> 0. Очевидно, (If) +=1f+ ,(1f)_=1f_. Интегрируя эти равенста и вычитая из первого второе, получаем требуемое.

3. 1 = -1. Очевидно, (_ /) + = /_,(_ /) _ = /+. Отсюда [L]j (_ f )dx = [L]j f_ dx - [ L]j f+ dx = _[L]j fdx. Для l = -1 верно.

X XXX

4. 1< 0. [L]jlfdx =_[L]j(_1) fdx =_(_1)[L]j fdx =1[L]j fdx.

XX XX

11⁰. f(x) e L(X), g(x) измерима и ограничена на X ^ f ( x) g( x) e L( X). Доказательство

Известно, что тогда fg измерима. Также |g(x)| < 1"xe X.

Отсюда | fg < l f|. Следовательно, fge L(X).

12⁰. f(x) e L(X), g(x) e L(X) ^ f + g e L(X) и [L]J(f + g)dx = [L]J fdx+ [L]Jgdx.

X XX

Доказательство

Поскольку |f + g <| f| + |g, то f + g e L( X) (по свойствам

§5 (см. стр. 180). Введем множества X, i = 1 ■ 6 по распределению знаков для f (x), g( x) на

X: X₁ = X( f > 0 a g > 0) и т. д.

6

Тогда X = У X_i,iФ j^ X_iQXj =0. Для каждого i = 1 ■ 6

i=1

доказывается, что [L] |( f + g)dx = [L] J fdx + [L] J gdx.

X, X_t X_t

Например, для i = 1 следует из свойств §5 (см. стр. 180). Для других случаев к функции f + g > 0 применим

свойство 10⁰.

13⁰. f(x) e L(X), g(x) e L(X) ^ ( f - g) e L(X). Доказательство

Следует из свойств 12⁰, 10°.

Наконец, упомянем о предельном переходе под знаком обобщенного интеграла. Для этого рассмотрим свойство обобщенного интеграла, называемое его абсолютной непрерывностью

.

14⁰. Если f(x)e L(х), то "e > 03d > 0: Yс х - измеримо,

mY < d ^

< e.

[L]J f( x)dx

Доказательство

f e L(х) f| e L(х).

х

Из понятия обобщенного интеграла для неотрицательной функции имеем: "e > 03^0 e N:[ L]J| f | dx - (L) J [| f |]_ль dx <|.

х

e 2n

- искомое.

Возьмем d^:

Действительно, f - [ f ]_n0 > 0"xe х. "Y с х - измеримого

^ [ ^l ] J a ^fi - EI^f i] П0) ^dx< [ ^l ] J a ^fi - n^f i] П0) ^dx.

Отсюда имеем:

e

- ^

[L]J| f|dx- (L)J[| f |]n0 dx < ₂

Y Y ²

[L]J| f\dx<e + [L]J[| f|]n,dx.

Поскольку [| f|]n₀ < П0, то [L]J[| f |]n₀ dx < n0 x mY.

Y

Тогда [L]J| f | dx < — + П0 x mY. _Y2

При mY< d будет [L]J| f\dx< e ^ [L]J fdx < e

.

15⁰. (Теорема А. Лебега о предельном переходе под знаком обобщенного интеграла).

Пусть ( f_n(x))_neN заданы на X, f_n (x) измеримы на X,

fn ^ fo(x).

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 2

КОНСПЕКТЛЕКЦИЙ 2

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 3

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИИ 3

а\в 15

( А \ Д) п (А \ Аг ) = 0 ( д\ Аг ) п ( а \ Аз )=0 23

2o Если A = U A, 1Ф j ^ A П Af =0, A = c, то A = c 37

Возьмем набор точек 0 = x0 < x1 < x2 < ... < xx i < xn = 1. 37

склеивания A = u A = ^ [xk-1, xk) = [0,1) = c. 38

3o A = u A, 1 ф j ^ A п A,. = 0, A = c ^ A = c. 38

. («,А )с G^iej ^ U (a ,b ) = a с g. 77

х = щ, k = 1,2,...,n 101

^ [ l ] J a fi - EIf i] П0) dx< [ l ] J a fi - nf i] П0) dx. 206

= (L) J n2 dx = ( R)J n2dx = n ® +¥ fn (x) ® 0 . 236

[i] f t—(x)dx = limi (- - - 1 254

Неравенство \f_n (x)| < g(x) дает f_n (x) е L( X)"n е N.

Покажем, что | f₀ (x)| < g(x) почти всюду на X. По теореме

Ф. Рисса, $( f (x))_keN : f (x) > g(x). Перейдем к пределу при

k ® +¥ в неравенстве f' (x) < g(x) получим | f₀ (x)| < g(x) почти всюду на X. Изменив значение f₀ (x) .

На Y с X, mY = 0, можно обеспечить | f₀ (x)| < g(x)"xе X. Получим f₀(x) е L(X).

"T > 0 введем обозначение: An(T) = X(| fn - /01 ^ T), Bn(T) = X(| fn - /01 < e).

Рассмотрим

Очевидно, X = An (T)|J Bn (T), An (TjQ Bn (T) =0, при n ®+¥, mA_n (T) ® 0.

[L]f fndx - [ L]f f0 dx < [L]f f0 - fn\dx =

XXX

= [L] f \ fn - /0I dx+ [L] f \ fn - f0 dx\.

An (T) Bn (T)

На B_n(T)f_n - f₀| < T, следовательно, второй интеграл не превышает TmB_n (T) < TmX. Также \f_n - f₀| < 2g(x), поэтом

у

первый интеграл не превышает 2[L] J g(x)dx. Получаем:

An (T)

[L]J f_ndx- [L]J /0dx £ 2[L] Jg(x)dx + TmX.

X X An (T)

e

Зададим "e > 0. Выберем T > 0: TmX <—. Используя абсолютную непрерывность интеграла от g( x), найдем d > 0: "Y с X - измеримого: mY < d будет [L]J g( x)dx < —.

Y ⁴

При данном T > 0 и при n > n₀ , n₀ - такое, что при

г —

n > n₀ mA_n (T) < d, будет 2[L] I g(x)dx <—. В итоге при n > n₀

₂

An(T)

[L]J f_n(x)dx-[L]J f0(x)dx

будет

< e, что и требовалось.

X

XИз последнего свойства получаем, что при выполнении его условий будет: lim [L] J f_n(x)j(x)dx = [L] J f₀ (x)j(x)dx для

n®+¥ J J

измеримой ограниченной функции j(x). Действительно, если j(x)\ £ K, то \fn (x)j(x)\ £ Kg(x). Также fn (x)j(x) ^ f,(x)j(x).

T

Это следует из X( f_nj - f₀ j > T) с X(| f_n - f₀1 > к)•

0

n®+¥

XX

Дальнейшие, более глубокие свойства, связанные с предельным переходом под знаком интеграла, можно найти в [1, с. 144-153]

.

Решение типовых задач к главе 3 Задача 1

b

Вычислить по определению (R) J cdx, c - const.

a

Решение

Выполним произвольное (T) - разбиение [a, b].

Выберем произвольно c_k e [x_k, x_k+J. f(c_k) - c.

n-1 n-1 n-1

^sr ^{(T) -} Z^{f (c}k ^)Dxk^- Z ^cDxk^{- c}Z ^Dxk^{- c(b} _^a). ^Тогд^а

k-0 k-0 k-0

b