- •Белкоопсоюз
- •Пояснительная записка
- •Программа дисциплины
- •Тема 1. Случайные события и вероятность
- •Тема 2. Случайные величины и законы их распределения
- •Тема 3. Закон больших чисел
- •Тема 4. Основы математической статистики
- •1. Основные понятия и теоремы теории
- •1.1. Классификация событий. Действия над событиями
- •Испытанием называется осуществление определенной совокупности условий.
- •Произведением двух событий а и в называют событие ав, состоящее в совместном появлении этих событий.
- •1.2. Понятие вероятности
- •1.2.1. Классическое определение вероятности
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •1.2.2. Геометрическое определение вероятности
- •Решение
- •1.2.3. Статистическое определение вероятности
- •Решение
- •Решение
- •1.3. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •1.4. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Вопросы для самоконтроля
- •Ответы на тестовые задания
- •2. Повторные независимые испытания
- •2.1. Формула Бернулли
- •2.2. Теорема Пуассона
- •2.3. Локальная теорема Муавра-Лапласа
- •2.4. Интегральная теорема Лапласа
- •2.5. Наивероятнейшее число появлений события
- •Вопросы для самоконтроля
- •Ответы на тестовые задания
- •3. Случайные величины, их распределение
- •3.1. Понятие случайной величины. Классификация случайных
- •3.2. Закон распределения дискретной случайной величины
- •Решение
- •3.3. Числовые характеристики дискретных
- •3.4. Непрерывные случайные величины
- •3.5. Числовые характеристики непрерывной
- •Вопросы для самоконтроля
- •Ответы на тестовые задания
- •4. Некоторые законы распределения
- •4.1. Биномиальный закон распределения
- •4.2. Закон Пуассона
- •4.3. Равномерное распределение
- •4.4. Показательное распределение
- •4.5. Нормальное распределение
- •Вопросы для самоконтроля
- •Ответы на тестовые задания
- •5. Двумерные случайные величины
- •Вопросы для самоконтроля
- •Ответы на тестовые задания
- •6. Закон больших чисел
- •6.1. Неравенство Маркова
- •6.2. Неравенство Чебышева
- •6.3. Теорема Чебышева
- •6.4. Теорема Бернулли
- •Вопросы для самоконтроля
- •Ответы на тестовые задания
- •7. Выборочный метод
- •7. 1. Выборка
- •7.2. Статистические ряды
- •7.3. Эмпирическая функция распределения
- •Вопросы для самоконтроля
- •7.4. Числовые характеристики выборки
- •7.5. Интервальные оценки неизвестных параметров
- •Вопросы для самоконтроля
- •Ответы на тестовые задания
- •Вопросы для самоконтроля
- •Ответы на тестовые задания
- •9. Исследование взаимосвязи
- •9.1. Ковариация и корреляция
- •9.2. Регрессия
- •Вопросы для самоконтроля
- •Ответы на тестовые задания
- •Список рекомендуемой литературы
- •Содержание
- •Теория вероятностей
- •246029, Г. Гомель, просп. Октября, 50.
- •246029, Г. Гомель, просп. Октября, 50.
7.5. Интервальные оценки неизвестных параметров
Более полный и надежный способ оценивания параметров распределений заключается в определении не единственного точечного значения, а интервала, который с заданной вероятностью содержит истинное значение оцениваемого параметра. Для заранее выбранного уровня значимости ,по выборке определяются два числаи,, между которыми с вероятностьюнаходится неизвестный параметр:.
Число называетсядоверительной вероятностью (надежностью), ,–доверительными нижней и верхней границами. Величины ,определяются по результатам выборки, следовательно, являются случайными.
Если – точечная оценка неизвестного параметра, то , где–предельная ошибка (уровень надежности) выборки, которая либо задается заранее, либо вычисляется.
На практике часто используются односторонние доверительные интервалы, которые определяются из условий илии называютсяправосторонними и левосторонними соответственно.
Длина доверительного интервала, характеризующая точность интервальной оценки, зависит от объема выборки и надежности. При увеличениидлина доверительного интервала уменьшается, а с приближением надежности к 1 – увеличивается. В качествепринимают значения 0,9; 0,95; 0,99, что соответствует 90, 95, 99%-ым доверительным интервалам соответственно.
Задача определения доверительного интервала может быть решена только тогда, когда удается найти закон распределения случайной величины, используемой в качестве оценки. В общем случае этот закон зависит от самого неизвестного параметра. Однако иногда удается перейти от оценки к таким функциям выборочных значений, закон распределения которых зависит только от объема выборкии закона распределения случайной величины и не зависит от неизве-стных параметров.
Пусть выборка произведена из генеральной совокупности значений нормально распределенной с параметрамиислучайной величины, т.е.~.
Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии с доверительной вероятностью имеет вид:
или .
Здесь – квантиль порядканормального распределения, заданного функцией распределения вероятностей
, т. е.
Выражение – точность оценки. Из соотношениянаходится минимальный объемвыборки, который обеспечивает заданную точность.
Число , как правило, неизвестно, поэтому его заменяют приближенным значением:.
Пример 7.4. Автомат наполняет пакеты с чипсами. Установлено по выборочным данным, что стандартное отклонение веса пакетов г. Среднее значение веса пакетаг (приn = 36). В каком интервале с надежностью 95% лежит истинное значение веса, считая что вес подчиняется нормальному распределению ~N (m ; 10).
Решение
Для определения 95% доверительного интервала найдем критическую точку из уравнения.
По таблицам функции Лапласа . Тогда доверительный интервал имеет вид.
Тест 7.20. Доверительный интервал для оценки математического ожидания при выборочной средней и точности оценкиимеет вид:
1) (12,5; 15,5);
2) (14,5; 17);
3) (0;14);
4) (14; 28).
Вопросы для самоконтроля
Какие числовые характеристики выборки относятся к показателям положения?
Какие числовые характеристики выборки относятся к показателям разброса?
Какой показатель характеризует симметрию распределения?
Что называется выборочным средним, выборочной модой, выборочной медианой, выборочной дисперсией?
Каким условиям должны удовлетворять точечные оценки?
Какие оценки называются интервальными?
Что называется доверительной вероятностью?