- •Белкоопсоюз
- •Пояснительная записка
- •Программа дисциплины
- •Тема 1. Случайные события и вероятность
- •Тема 2. Случайные величины и законы их распределения
- •Тема 3. Закон больших чисел
- •Тема 4. Основы математической статистики
- •1. Основные понятия и теоремы теории
- •1.1. Классификация событий. Действия над событиями
- •Испытанием называется осуществление определенной совокупности условий.
- •Произведением двух событий а и в называют событие ав, состоящее в совместном появлении этих событий.
- •1.2. Понятие вероятности
- •1.2.1. Классическое определение вероятности
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •1.2.2. Геометрическое определение вероятности
- •Решение
- •1.2.3. Статистическое определение вероятности
- •Решение
- •Решение
- •1.3. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •1.4. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Вопросы для самоконтроля
- •Ответы на тестовые задания
- •2. Повторные независимые испытания
- •2.1. Формула Бернулли
- •2.2. Теорема Пуассона
- •2.3. Локальная теорема Муавра-Лапласа
- •2.4. Интегральная теорема Лапласа
- •2.5. Наивероятнейшее число появлений события
- •Вопросы для самоконтроля
- •Ответы на тестовые задания
- •3. Случайные величины, их распределение
- •3.1. Понятие случайной величины. Классификация случайных
- •3.2. Закон распределения дискретной случайной величины
- •Решение
- •3.3. Числовые характеристики дискретных
- •3.4. Непрерывные случайные величины
- •3.5. Числовые характеристики непрерывной
- •Вопросы для самоконтроля
- •Ответы на тестовые задания
- •4. Некоторые законы распределения
- •4.1. Биномиальный закон распределения
- •4.2. Закон Пуассона
- •4.3. Равномерное распределение
- •4.4. Показательное распределение
- •4.5. Нормальное распределение
- •Вопросы для самоконтроля
- •Ответы на тестовые задания
- •5. Двумерные случайные величины
- •Вопросы для самоконтроля
- •Ответы на тестовые задания
- •6. Закон больших чисел
- •6.1. Неравенство Маркова
- •6.2. Неравенство Чебышева
- •6.3. Теорема Чебышева
- •6.4. Теорема Бернулли
- •Вопросы для самоконтроля
- •Ответы на тестовые задания
- •7. Выборочный метод
- •7. 1. Выборка
- •7.2. Статистические ряды
- •7.3. Эмпирическая функция распределения
- •Вопросы для самоконтроля
- •7.4. Числовые характеристики выборки
- •7.5. Интервальные оценки неизвестных параметров
- •Вопросы для самоконтроля
- •Ответы на тестовые задания
- •Вопросы для самоконтроля
- •Ответы на тестовые задания
- •9. Исследование взаимосвязи
- •9.1. Ковариация и корреляция
- •9.2. Регрессия
- •Вопросы для самоконтроля
- •Ответы на тестовые задания
- •Список рекомендуемой литературы
- •Содержание
- •Теория вероятностей
- •246029, Г. Гомель, просп. Октября, 50.
- •246029, Г. Гомель, просп. Октября, 50.
3.5. Числовые характеристики непрерывной
случайной величины
Математическое ожидание непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат всей оси Ox, определяется равенством
,
где – плотность распределения.
В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу , то.
Дисперсия непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат оси Ox, определяется равенством
или равносильным равенством
.
В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу , то
или
.
Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется так же, как и для дискретной случайной величины
.
Пример 3.14. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения
Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонений.
Решение
1. Найдем плотность распределения:
2. Для вычисления математического ожидания воспользуемся формулой
,
где aиb– концы интервала, в котором заключены возможные значения X.
По условию ;;.
Следовательно, имеем:
.
3. Дисперсию вычисляем по формуле
.
.
4. Вычисляем среднее квадратическое отклонение.
.
Тест 3.11. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины равны:
1) ,;
2) ,;
3) ,;
4) ,.
Тест 3.12. Математическое ожидание непрерывной случайной величины, заданной функцией распределения:
равно:
1) ;
2);
3);
4);
5) .
Тест 3.13. Дисперсия непрерывной случайной величины, заданной функцией распределения:
равна:
1);
2);
3) ;
4) ;
5) .
Тест 3.14.Оценку среднего значения случайной величины дает:
математическое ожидание;
дисперсия;
функция распределения;
плотность распределения вероятностей (дифференциальная функция распределения).
Тест 3.15.Степень разброса значений случайной величины вокруг ее математического ожидания определяет:
математическое ожидание;
дисперсия;
функция распределения;
плотность распределения вероятностей (дифференциальная функция распределения).
Вопросы для самоконтроля
Понятия случайной величины, дискретной случайной величины, непрерывной случайной величины.
Понятие закона распределения. Законы распределения дискретной случайной величины
Числовые характеристики дискретной случайной величины.
Понятие непрерывной случайной величины.
Понятие плотности распределения (дифференциальной функции) непрерывной случайной величины.
Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
Вероятность попадания непрерывной случайной величины Xчерез.
Ответы на тестовые задания
Номер теста |
3.1 |
3.2 |
3.3 |
3.4 |
3.5 |
3.6 |
3.7 |
3.8 |
3.9 |
Правильный ответ |
1 |
2 |
4 |
5 |
5 |
4 |
2 |
5 |
4 |
Номер теста |
3.10 |
3.11 |
3.12 |
3.13 |
3.14 |
3.15 |
Правильный ответ |
2 |
1 |
1 |
3 |
1 |
2 |
4. Некоторые законы распределения
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
4.1. Биномиальный закон распределения
Случайная величина X, которая может принять возможное значение=k ( k = 0; 1; …;n) с вероятностью, определяемой по формуле Бернулли
,
называется распределенной по биномиальному закону.
Постоянные nиp(q = 1 –p) называются параметрами биномиального распределения.
Теорема.Числовые характеристики случайной величины, распределенной по биномиальному закону, вычисляются по формулам:
; .
Таким образом, в примере 3.9 математическое ожидание и дисперсию можно было вычислять следующим образом:
;
здесь n= 4;p =;q =.
Тест 4.1.Монету бросают 4 раза. Случайная величинаX– число выпадений герба.математическое ожидание случайной величиныX равно:
1) 2;
2) 0;
3) 1;
4) ;
5) 4.
Тест 4.2.Монету бросают 4 раза. Случайная величинаX– число выпадений герба. Дисперсия случайной величины X равна:
1) 2;
2) 0;
3) 1;
4) ;
5) 4.
Тест 4.3. Случайная величина X называется распределенной по биномиальному закону, если она принимает возможные значения с вероятностью, определяемой по формуле:
1) ;
2) ;
3);
4) ;
5) .
Тест 4.4. Математическое ожидание, дисперсия непрерывной случайной величины X, биномиально распределенной случайной величины равны:
1) ;;
2) ,;
3) ;;
4) ;;
5) ,.